Головна

показники варіації

  1.  I група. Показники оцінки прибутковості господарської діяльності.
  2.  I. Натуральні показники продукції землеробства.
  3.  II Показники РІВНЯ І ДИНАМІКИ ВИТРАТ ВИРОБНИЦТВА
  4.  II. непрямі показники
  5.  III. Вартісні показники продукції сільського господарства.
  6.  А) Варіації характерологических схильностей
  7.  А. Загальні показники оборотності.

До показників варіації відносяться: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсія, середньоквадратичне відхилення, коефіцієнт варіації.

Самим елементарним показником варіації ознаки є розмах

Xmax-Xmin (1.6.1.)

Однак розмах варіації показує лише крайні відхилення ознаки і не відображає відхилень всіх варіантів в ряду. При вивченні варіації не можна обмежуватися тільки визначенням її розмаху. Для аналізу варіації необхідний показник, який відображає всі коливання варьирующего ознаки і дає узагальнену характеристик). Найпростіший показник такого типу - середнє лінійне відхилення.

Середнє лінійне відхилення (  являє собою середню арифметичну

абсолютних значень відхилень окремих варіантів від їх середньої арифметичної (при цьому завжди припускають, що

середню вираховують із варіанти:  ).

Середнє лінійне відхилення: для несгруппірованних даних

(1.6.2)

де n- число членів ряду;

для згрупованих даних

(1.6..3)

де  - Сума частот варіаційного рада.

У формулах (4.2) і (4.3) різниці в чисельнику взяті за модулем, (інакше в чисельнику завжди буде нуль - "О" - алгебраїчна сума відхилень варіантів від їх середньої арифметичної). Тому середнє лінійне відхилення як міру варіації ознаки застосовують в статистичній практиці рідко (тільки в тих випадках, коли підсумовування показників без урахування знаків має економічний сенс). З його допомогою наприклад, аналізується склад працюючих, ритмічність виробництва, оборот зовнішньої торгівлі.

дисперсія ознаки є середній квадрат відхилень варіантів від їх середньої величини, вона обчислюється за формулами простої і зваженої дисперсії (в залежності від вихідних даних):

проста дисперсія для несгруппірованних даних або мають рівні частоти:

 (1.6.4.)

зважена дисперсія для варіаційного рядус нерівнимичастотами:

 (1.6.5.)

Техніка обчислення дисперсії за формулами (6.2.4), (6.2.5) досить складна, а при великих значеннях варіантів і частот може бути громіздкою. Розрахунок можна спростити, використовуючи властивості дисперсії (доказувані в математичній статистиці):

перший - якщо всі значення ознаки зменшити на одну і ту ж
 постійну величину А, то дисперсія від цього не зміниться;

друге - якщо всі значення ознаки зменшити в одне і те ж число раз (i раз), то дисперсія відповідно зменшиться в раз.

третє-середній квадрат відхилень від будь-якої величини А (відмінною від середньої арифметичної) більше дисперсії ознаки на квадрат різниці між середньою арифметичною і величиною А (властивість мінімальності)

Використовуючи властивості дисперсії, отримаємо наступну формулу обчислення дисперсії в варіаційних радах з рівними інтервалами за способом моментів:

 (1.6.6)

де  - Дисперсія, обчислена за способом моментів; i - Величина інтервалу;

 - Нові (перетворені) значення варіантів

- Умовний нуль, в якості якого зручно використовувати середину інтервалу, що володіє найбільшою частотою);

 - Момент другого порядку; (1.6.7.)

 - Квадрат моменту першого порядку. (1.6.8.)

На підставі останнього властивості дисперсії в разі коли А прирівнюється нулю і, отже, не обчислюються відхилення, формула дисперсії набуде вигляду:

 (1.6.9.)

Розрахунок дисперсії за вищенаведеною формулою менш трудомісткий і може використовуватися в рядах розподілу з будь-яким (рівним і нерівним) інтервалом.

Дисперсія має велике значення в економічному аналізі, В математичній статистиці важливу роль для характеристики якості статистичних оцінок відіграє їх дисперсія. Нижче, зокрема, буде показано розкладання дисперсії на відповідні елементи, що дозволяють оцінити вплив різних чинників, які обумовлюють варіацію ознаки; використання дисперсії для побудови показників тісноти кореляційного зв'язку при оцінці результатів вибіркових спостережень.

середнє квадратичне відхилення (  ) Дорівнює кореню квадратному з дисперсії:

для несгруппірованних даних

 (1.6.10.)

для варіаційного ряду згрупованих даних

 (1.6.11.)

Середнє квадратичне відхилення - це узагальнююча характеристика розмірів варіації ознаки в сукупності; воно показує на скільки в середньому відхиляються конкретні варіанти від їх середнього значення; є абсолютною мірою коливання ознаки і виражається в тих же одиницях, що і варіанти, тому економічно добре інтерпретується.

Серед безлічі варіюють ознак існують ознаки, якими одні одиниці сукупності володіють, а інші не мають. Такі ознаки називаються альтернативними. Прикладом таких ознак є: наявність бракованої продукції, вчений ступінь у викладача, наявність академічної заборгованості у студента та ін. Позначимо: 1 - наявність даного нас ознаки; 0 - його відсутність: р - Частка одиниць, оподатковуються даним ознакою; q - Частка одиниць, що не володіють даними ознакою; тоді

p + q = 1. Обчислимо середнє значення альтернативної ознаки і його дисперсію.

Середнє значення альтернативної ознаки

 (1.6.12.)

так як р + q = 1. Отже, середня арифметична величина альтернативної ознаки дорівнює частці одиниць володіють ознакою.

Дисперсії альтернативної ознаки.

Підставивши в формулу дисперсії q = 1 -р, отримаємо

 (1.6.13.)

Таким чином,  - Дисперсія альтернативної ознаки дорівнює добутку частки одиниць, що володіють ознакою, на частку одиниць, що не володіють даними ознакою.

Середнє квадратичне відхилення альтернативної ознаки

 (1.6.14.)

При обчисленні середніх величин і дисперсії для інтервальних рядів розподілу істинні значення ознаки замінюються центральними (середина) значеннями інтервалів, які відрізняються від середньої арифметичної значень, включених в інтервал. Це призводить до появи систематичної похибки при розрахунку дисперсії.

В. Ф. Шеппард встановив, що похибка в розрахунку дисперсії, викликана застосуванням згрупованих даних, становить 1/12 квадрата величини інтервалу (T.e.i2/ 12), як в бік заниження, так і в бік завищення величини дисперсії. Поправка Шеппарда повинна застосовуватися, якщо розподіл близько до нормального, відноситься до ознаки з безперервним характером варіації, побудовано по великій кількості вихідних даних (n> 500), Однак виходячи з того, що в ряді випадків обидві похибки, діючи в протилежні напрямки, нейтралізуються і компенсують один одного, можна іноді відмовитися від введення поправок.

Чим менше значення дисперсії і середнього квадратичного відхилення, тим однорідні сукупність і тим більше типовою буде середня величина.

У статистичній практиці часто виникає необхідність порівняння варіацій різних ознак. Наприклад, великий інтерес представляє порівняння варіацій віку робітників і їх кваліфікації, стажу роботи і розміру заробітної плати, собівартості і прибутку, стажу роботи і продуктивності праці і т. Д. Для подібних зіставлень показники абсолютного коливання ознак непридатні: не можна порівнювати коливання стажу роботи, вираженого в роках, з варіацією заробітної плати, вираженої в рублях.

Для здійснення такого роду порівнянь, а також порівнянь коливання одного і того ж ознаки в декількох сукупностях з різною середньої арифметичної використовують відносний показник варіації - коефіцієнт варіації.

Відносні показники варіації є ставлення абсолютних показників варіації до середньої арифметичної. Найбільш поширеними з них є коефіцієнт варіації і лінійний коефіцієнт варіації.

Коефіцієнт варіації являє собою виражене у відсотках відношення середнього квадратичного відхилення до середньої арифметичної:

 (1.6.15.)

Лінійний коефіцієнт варіації це відношення середнього лінійного відхилення до середньої арифметичної:

 (1.6.16.)

Коефіцієнт варіації використовують не тільки для порівняльної оцінки варіації одиниць сукупності, а й як характеристику однорідності сукупності. сукупність вважається кількісно однорідною, якщо коефіцієнт варіації не перевищує 33%.

Варіація ознаки обумовлена ??різними факторами, деякі з цих факторів можна виділити, якщо статистичну сукупність розбити на групи по будь-якою ознакою. Тоді, поряд з вивченням варіації ознаки по всій сукупності в цілому, стає можливим вивчити варіацію для кожної зі складових її групи, а також і між цими групами. У найпростішому випадку, коли сукупність розчленована на групи по одному фактору, вивчення варіації досягається за допомогою обчислення і аналізу трьох видів дисперсій: загальної, груповий і внутрішньогруповий.

Загальна дисперсія  вимірює варіацію ознаки по всій сукупності під впливом всіх факторів, що обумовили цю варіацію. Вона дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки х від загальної середньої  і може бути обчислена як проста дисперсія (За формулою (4.4) або зважена дисперсія за формулою (4,5).

межгрупповая дисперсія  характеризує систематичну варіацію результативного порядку, яка обумовлена ??впливом ознаки-фактора, покладеного в основу угруповання. Вона дорівнює середньому

квадрату відхилень групових (приватних) середніх , від загальної середньої  і може бути обчислена як проста дисперсія або як зважена дисперсія за формулами, відповідно:

 (1.6.17.)

 (1.6.18.)

Внутригрупповая (приватному) дисперсія  , Відображає випадкову варіацію, т. Е. Частина варіації, яка обумовлена ??впливом неврахованих факторів і не залежить від ознаки-фактора, покладеного в основу угруповання. Вона дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки всередині групи х від середньої арифметичної цієї

групи  , (Груповий середньої) і може бути обчислена як проста дисперсія або як зважена дисперсія за формулами, відповідно:

 (1.6.19.)

 (1.6.20.)

На підставі внутрішньогрупових дисперсій по кожній групі, т. Е. На підставі  , Можна визначити середню з внутрішньогрупових дисперсій:

 (1.6.21.)

згідно правилом додавання дисперсій загальна дисперсія дорівнює сумі середньої з внутрішньогрупових і груповий дисперсій:

 (1.6.22.)

Користуючись правилом додавання дисперсій, можна завжди по двом відомим дисперсія визначити третю - невідому, а також судити про силу впливу группировочного ознаки.

У статистичному аналізі широко використовується емпіричний коефіцієнт детермінації ( )- Показник, який представляє собою частку груповий дисперсії в загальній дисперсії результативної ознаки і характеризує силу впливу группировочного ознаки на освіту загальної варіації:

 (1.6.23.)

Емпіричний коефіцієнт детермінації показує частку варіації результативного ознаки у під впливом факторної ознаки х (Інша частина загальної варіації у обумовлюється варіацією інших чинників). При відсутності зв'язку емпіричний коефіцієнт детермінації дорівнює нулю, а при функціональному зв'язку - одиниці.

Емпіричне кореляційне відношення - Це корінь квадратний з емпіричного коефіцієнта детермінації:

 (1.6.24.)

воно показує тісноту зв'язку між об'єднувальних і результативним ознаками.

Емпіричне кореляційне відношення (?), як і ( ) , Може приймати значення від 0 до 1.

Якщо зв'язок відсутній, то кореляційне відношення дорівнює нулю, т. Е. Все групові середні будуть рівні між собою, між груповий варіації не буде. Значить, группіровочний ознака ніяк не впливає на утворення спільної варіації.

Якщо зв'язок функціональна, то кореляційне відношення буде дорівнює одиниці. В цьому випадку дисперсія групових середніх дорівнює загальній дисперсії (  ), Т. Е. Внутрішньогрупової варіації не буде. Це означає, що группіровочний ознака цілком визначає варіацію досліджуваного результативного ознаки.

Чим значення кореляційного відносини ближче до одиниці, тим тісніше, ближче до функціональної залежності зв'язок між ознаками.

Для якісної оцінки тісноти зв'язку на основі показника емпіричного кореляційного відносини можна скористатися співвідношеннями Чеддока:

?, 0,1-0,3 0,3-0,5 0,5-0,7 0,7-0,9 0,9-0,99

Сила зв'язку Слабка Помірна Помітна Тісний Дуже тісний

Рішення тіпових завдань до теми 1.6 .: Показники варіації.

Завдання № 1.

За даними про врожайність винограду на різних ділянках визначте: а) розмах варіації; б) середню врожайність винограду; в) середнє лінійне відхилення; г) дисперсію; д) середньоквадратичне відхилення; е) лінійний коефіцієнт варіації.

 номер ділянки  Урожайність винограду з одного куща, кг. (Х)  Число кущів (f)  x · f / Х - /  / x-  / · F
 3,9  19,5  76,05
 2,9  20,3  58,87
 1,9  15,2  28,88
 0,9  9,9  8,91
 0,1  1,5  0,15
 1,1  17,6  19,36
 2,1  21,0  44,10
 3,1  24,8  76,88
 Разом   X  129.8  313,20

Рішення:

а) розмах варіації Р = Xmax-Xmin Р = 10кг-ЗКГ = 7 кг.

б) середня врожайність
 (Кг)

в) середнє лінійне відхилення
 (Кг)

г) дисперсія

д) середньоквадратичне відхилення
 (Кг)

е) лінійний коефіцієнт варіації

завдання№ 2.

На підставі нижченаведених даних визначте: а) середній розмір основних промислово-виробничих фондів на один завод (спрощеним способом); б) дисперсію (спрощеним способом); в) середнє квадратичне відхилення; г) коефіцієнт варіації.

 Групи заводів за вартістю основних пром. виробниц-х фондів, млн. руб  Число заводів (f)  Середина інтервалу (х)  х-А А = 9 i = 2    
 4-6  -4  -2  -4
 6-8  -2  -1  -3
 8-10
 10-12
 12-14
 Разом X X X

Рішення:

Т. к. Інтервал угруповання рівний, для розрахунку використовуємо спрощений

метод моментів (і для середньої, і для дисперсії).

а) середній розмір основних фондів

де m1 момент першого ступеня

 тоді,  = 0,5 · 2 + 9 = 9,7 (млн. Руб.)

б) дисперсія
 де m2 момент другого ступеня.

 тоді

в) середнє квадратичне відхилення

 (млн. руб.).

г) коефіцієнт варіації



 Поняття і сутність варіації |  Завдання № 3.

 Завдання № 3. |  Абсолютні статистичні величини |  Відносні статистичні величини |  Сутність і види середніх величин |  Середня квадратична зважена |  Завдання № 7. |  Завдання № 8. |  Завдання № 9. |  Завдання № 10. |  Завдання № 11. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати