Головна

Основні числові характеристики випадкових величин

  1.  Amp; 8. Основні положення декретів ЦВК і РНК від 18.12.1917 р та 19.12 1917 р
  2.  Cent; Поняття випадкової величини
  3.  Cущность організації та її основні ознаки
  4.  GENESIS64 Security - Основні настройки
  5.  I. Основні богословські положення
  6.  I. Основні завдання ЗОВНІШНЬОЇ ПОЛІТИКИ
  7.  I. основні положення

Результати, викладені в параграфах 2.2 і 2.3, показують, що повну характерістікудіскретной і безперервної випадкових величин можна отримати, знаючи закони їх розподілу. Однак у багатьох практично значущих ситуаціях користуються так називаемимічісловимі характеристиками випадкових величин, головне призначення цих характеристик - висловити у стислій формі найбільш істотні особливості розподілу випадкових величин. Важливо, що дані параметри представляють собою конкретні (постійні) значення, які можна оцінювати за допомогою отриманих в дослідах даних. Цими оцінками займається «Описова статистика».

У теорії ймовірностей і математичній статистиці використовується досить багато різних характеристик, але ми розглянемо тільки найбільш вживані. Причому лише для частини з них наведемо формули, за якими розраховуються їх значення, в інших випадках обчислення залишимо комп'ютера.

Розглянемохарактеристики положення - математичне очікування, моду, медіану.

Оніхарактерізуют положення випадкової величини на числовій осі, т. е. вказують деякий орієнтовний значення, біля якого групуються всі можливі значення випадкової величини. Серед них найважливішу роль відіграє математичне очікування М(Х).

Математичне сподівання М(Х) Випадкової величини Х є імовірнісним аналогом її середнього арифметичного (М(Х) = або М(Х) » ).

Для дискретної випадкової величини М(Х) Обчислюється за формулою:

М(Х) = х1р1 + х2р2 + ... + Хnрn = . (18)

Для неперервної випадкової величини М(Х) Визначають за формулами:

М(Х) = або М(Х) =  (19)

де f(x) - Щільність ймовірності, dP = f(x)dx - Елемент ймовірності (аналог pi для малого інтервалу Dx (dx)).

Приклад: Розрахуйте середнє значення неперервної випадкової величини, що має на відрізку (a, b) рівномірний розподіл.

Рішення: при рівномірному розподілі щільність ймовірності на інтервалі (a, b) Постійна, т. Е. f(х) = fo = const, А поза (a, b) Дорівнює нулю; з умови нормування (15) знайдемо значення f0:

 = f0  = f0 ? x = (b-a)f0 , звідки

Тому:

M(X) = = = (a + b).

Отже, математичне сподівання М (Х) збігається з серединою інтервалу (a, b), Що визначає  , Т. Е. = M(X) = .

модою Мо(Х) Дискретної випадкової величини називають її найбільш ймовірне значення (рис.4а), А безперервної - значення Х, При якому щільність ймовірності максимальна (рис.4б).


медианой (ме) Випадкової величини зазвичай користуються тільки для безперервних випадкових величин, хоча формально її можна визначити і для дискретних Х. Медианой ме(Х) Випадкової величини називають таке значення Х, Яке ділить весь розподіл на дві рівноімовірні частини, т. Е. Ймовірності Р(Х < ме) і Р(Х ме) Виявляються рівними між собою:

Р(Х Ме) = Р(Х Ме) = .

Тому медіану можна обчислити зі співвідношення:

= .

Графічно медіана - це значення випадкової величини, ордината якої ділить площу, обмежену кривою розподілу, навпіл: S1 = S2 (Рис. 4в).

якщо М(Х), Мо(Х) і Ме(Х) Збігаються, то розподіл випадкової величини називають симетричним, в іншому випадку - асиметричним.

характеристики розсіювання - Це дисперсія і стандартне відхилення (середнє відхилення)

дисперсія D(X) випадкової величини Х визначається як математичне сподівання квадрата відхилення випадкової Х від її математичного очікування М(Х):

D(X) = M[X - M(X)]2 , (20)

або D(X) = M(X2 ) - [M(X)]2 . (21)

При конкретних розрахунках для дискретної випадкової величини ці формули записуються так:

D(X) = [хi(Х)]2 ? рi , або D(X) = хi2 рi - [M(X)] 2 (22)

Для неперервної випадкової величини, розподіленої в інтервалі (a, b), Вони мають вигляд:

D(X) = [x-M(X)] 2 f(x)dx, або D(X) = х2 f(x)dx - [M(X)]2, (23)

а для інтервалу (-?, + ?):

D(X)= [x-M(X)]2 f(x)dx, або D(X)= х2 f(x)dx- [M(X)]2. (24)

Дисперсія характеризує розсіювання, розпорошеність, значень випадкової величини Х щодо її математичного очікування. Саме слово «дисперсія» означає «розсіювання».

Однак дисперсія D(Х) Має розмірність квадрата випадкової величини, що вельми незручно при оцінці розкиду в фізичних, біологічних, медичних та інших додатках. Тому зазвичай користуються параметром, розмірність якого збігається з розмірністю Х. це - середньоквадратичне (Інакше - стандартне) відхилення випадкової величини Х, Яке позначають s (Х):

s (Х) = . (25)

Отже, математичне очікування, мода, медіана, дисперсія і середнє квадратичне відхилення є найбільш вживаними числовими характеристиками випадкових величин, кожна з яких виражає яке-небудь характерна властивість їх розподілу.

 Закон розподілу неперервної випадкової величини. Щільність розподілу ймовірності |  Нормальний закон розподілу випадкових величин


 Вступ |  Закономірність і випадковість, випадкова мінливість в точних науках, в біології та медицині |  Імовірність випадкової події |  Несумісні випадкові події. Теорема додавання ймовірностей |  Незалежні випадкові події. Теорема множення ймовірностей |  Зовсім події. Теорема множення ймовірностей для залежних подій |  Формула Байєса |  Про випадкових події з вірогідністю близькими до 0 або до 1 |  Випадкові величини, їх види |  Закон розподілу дискретної випадкової величини |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати