Головна

рівність Маркова

  1.  Бідність і нерівність
  2.  Біноміальний розподіл. Нерівність Бернуллі.
  3.  Габітус і соціальна нерівність в теорії П. Бурдьє
  4.  гендерна нерівність
  5.  ГЛАВА XII. Яким чином раси розділилися в фізіологічному відношенні, і які різновиди вони потім створили за посередництвом змішання. Нерівність рас в сенсі сили і краси
  6.  Як закони оселяє рівність в демократії
  7.  Яке рівність має місце в діях чисто або частково благодійних

позначимо через  ймовірність того, що в результаті n кроків (випробувань) система перейде зі стану  в стан  . наприклад,  - Ймовірність переходу за 10 кроків з третього стану в шосте. Відзначимо, що при n = 1 ця ймовірність зводиться просто до перехідної ймовірності .

Виникає питання, як, знаючи перехідні ймовірності  , Знайти ймовірності переходу стану  в стан  за n кроків. З цією метою вводиться в розгляд проміжне (між и  ) Стан r. Іншими словами, вважають, що з початкового стану  за m кроків система перейде в проміжний стан r з імовірністю  , Після чого за що залишилися n - m кроків з проміжного стану r вона перейде в кінцевий стан  з ймовірністю  . Використовуючи формулу повної ймовірності, можна показати, що справедлива формула

Цю формулу називають рівністю Маркова.

Знаючи все перехідні ймовірності  , Тобто знаючи матрицю переходу  зі стану в стан за один крок, можна знайти ймовірності  переходу з стан в стан за два кроки, а значить, і саму матрицю переходу  , Далі - по відомій матриці  - знайти  і т.д.

Дійсно, вважаючи в рівність Маркова n = 2, m = 1 отримаємо

або  . У матричному вигляді це можна записати як .

Вважаючи n = 3, m = 2, отримаємо  . У загальному випадку справедливо співвідношення .

приклад. Нехай матриця переходу  дорівнює

Потрібно знайти матрицю переходу .

Помноживши матрицю  саму на себе, отримаємо .

Для практичних застосувань надзвичайно важливим є питання про розрахунок ймовірності знаходження системи в тому чи іншому стані в конкретний момент часу. Вирішення цього питання вимагає знання початкових умов, тобто ймовірностей знаходження системи в певних станах в початковий момент часу. Початковим розподілом ймовірностей марківського ланцюга називається розподіл ймовірностей станів на початку процесу .

тут через  позначена вірогідність знаходження системи в стані  в початковий момент часу. В окремому випадку, якщо початковий стан системи в точності відомо (наприклад  ), То початкова ймовірність  , А всі інші дорівнюють нулю.

Якщо для однорідного ланцюга Маркова задані початковий розподіл ймовірностей і матриця переходу, то ймовірності станів системи на n-му кроці  обчислюються за рекуррентной формулою

.

Для ілюстрації наведемо простий приклад. Розглянемо процес функціонування деякої системи (наприклад, приладу). Нехай прилад протягом однієї доби може перебувати в одному з двох станів - справному (  ) І несправному (  ). В результаті масових спостережень за роботою приладу складена наступна матриця переходу ,

де  - Ймовірність того, що прилад залишиться в справному стані;

 - Ймовірність переходу приладу з справного в несправний стан;

 - Ймовірність переходу приладу з несправного в справний стан;

 - Ймовірність того, що прилад залишиться в стані "несправний".

Нехай вектор початкових ймовірностей станів приладу заданий співвідношенням

 , Тобто  (В початковий момент прилад був несправний). Потрібно визначити ймовірності стану приладу через три доби.

Рішення: Використовуючи матрицю переходу, визначимо ймовірності станів після першого кроку (після першої доби):

.

Ймовірностістанів після другого кроку (другої доби) рівні

Нарешті, ймовірностістанів після третього кроку (третьої доби) рівні

.

Таким чином, ймовірність того, що прилад буде знаходитися в справному стані дорівнює 0,819, і того, що в несправному - відповідно 0,181.

 Перехідні ймовірності. Матриця переходу. |  Поняття про системи масового обслуговування


 B. Поняття про регресійного аналізу |  Вибіркові рівняння регресії. |  лінійна регресія |  Приклад. |  Множинна лінійна регресія |  Логарифмічна модель. |  Статечна модель. |  Показова модель. |  Лекція 17. Поняття про ланцюгах Маркова та системах масового обслуговування |  Однорідні ланцюги Маркова |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати