Головна

Італія, XVI століття

У першій половині XVI ст. завдяки зусиллям італійських математиків в алгебрі відбуваються великі зрушення, супроводжувані вельми драматичними подіями. Професор Болонського університету Сципіон Даль Ферро (1465-1526) знаходить спільне рішення рівняння третього ступеня

х3 + рх = q

при позитивних р и q, Але тримає його в секреті, бо воно є великою цінністю на змаганнях за рішенням завдань, які тоді широко практикувалися в Італії. Перед смертю він відкриває секрет свого учня Фіоре. У 1535 р Фіоре викликає на змагання надзвичайно талановитого математика Нікколо Тарталья (1499-1557), який, знаючи, що Фіоре володіє способом вирішення кубічного рівняння, докладає максимум зусиль і сам знаходить рішення! Тарталья перемагає на змаганні, але також тримає своє відкриття в секреті. Нарешті, на сцені з'являється Джироламо Кардано (1501-1576). Він марно намагається знайти алгоритм розв'язання кубічного рівняння і в 1539 р звертається до Тарталье з проханням розповісти йому таємницю. Взявши з Кардано «священну клятву» мовчання, Тарталья частково і в не дуже зрозумілої формі відкриває для нього завісу. Кардано не задовольняється і докладає зусиль, щоб ознайомитися з рукописом покійного Даль Ферро. Це йому вдається, і в 1545 році він публікує книгу, в якій повідомляє алгоритм, що зводить рішення кубічного рівняння до радикалам («формула Кардано»). У цій же книзі міститься ще одне відкриття, зроблене учнем Кардано Луїджі (Лудовико) Феррарі (1522-1565), а саме рішення в радикалах рівняння четвертого ступеня. Тарталья звинувачує Кардано в порушенні клятви, зав'язується гостра і тривала полеміка. При таких обставинах заявляє про свої перші істотних досягненнях математика Нового часу.

Використання інструменту підказує шляху до його вдосконалення. Прагнучи до однакового вирішення рівнянь, математики виявили, що для досягнення цієї мети надзвичайно корисно внести деякі нові об'єкти і звертатися з ними так, як якщо б це були числа. Їх і називають числами, хоча розуміють, що вони відрізняються від «справжніх» чисел; це проявляється в тому, що їм надають такі епітети, як «помилкові», «фіктивні», «незбагненні», «уявні». Чому вони відповідають в дійсності, залишається не зовсім ясним або зовсім незрозумілим. Чи законно їх використання, теж залишається спірним. Проте, їх використовують все ширше, бо з їх допомогою виходять кінцеві результати, які містять лише «справжні» числа і які не можна отримати інакше. Людина, послідовно дотримується вчення Платона, не міг би використовувати «несправжні» числа. Однак індійські, арабські і італійські математики аж ніяк не були послідовними платониками; здорова цікавість і прагматичні міркування переважували для них теоретичну недозволених. Правда, при цьому вони все-таки робили застереження і як би вибачалися за свою «некоректне» поведінку.

Всі «несправжні» числа - продукт зворотного ходу арифметичної моделі, вони формально є рішеннями таких рівнянь, які не мають рішення в області «справжніх» чисел. В першу чергу треба назвати негативні числа. Ми знаходимо їх вже в досить розвиненому вигляді у індійського математика Бхаскару (XII ст.), Який здійснює над ними всі чотири дії арифметики. Інтерпретація негативного числа як боргу (на противагу майну) була відома індусам ще в XII в. Бхаськара, формулюючи правила дій над негативними числами, називає їх «борг», а позитивні - «майно». Оголосити негативне число таким же абстрактним поняттям, як позитивне число, він не наважується. «Люди не схвалюють абстрактних негативних чисел», - пише Бхаськара. Приблизно так само відносяться до негативних числах і в Європі XV-XVI ст. При геометричній інтерпретації негативні коріння називають «помилковими» на відміну від «справжніх» позитивних коренів. Сучасна інтерпретація негативних чисел як точок, що лежать лівіше точки нуль, з'явилася тільки в «Геометрії» Декарта (1637 г.). За традицією Декарт називав негативні коріння «помилковими».

Формальні дії над корінням з чисел, які не витягаються в точному вигляді, сягають глибокої давнини, коли ще не було поняття про неспівмірності відрізків. У XV-XVI ст. з ними поводяться зовсім запросто - допомагає тут, звичайно, проста геометрична інтерпретація. Розуміння теоретичної труднощі, яка витікає з неспівмірності відрізків, проявляється в назві цих чисел: «ірраціональні», т. Е. Збагненні розумом.

Квадрат будь-якого числа позитивний, тому квадратного кореня з негативного числа не існує серед позитивних, негативних, раціональних або ірраціональних. Однак Кардано осмілів настільки, що став формально оперувати (не без застережень) з корінням з негативних чисел. Так в XVI ст. виникли найнеможливіші з усіх неможливих чисел - «уявні». Логіка використання алгебраїчного мови нестримно вабила математиків по незвіданому шляху. Він здавався незаконним і таємничим, але інтуїція підказувала, що всі ці неможливі числа мають глибокий сенс і новий шлях себе виправдає. Так воно і виявилося.

 арифметична алгебра |  буквена символіка


 Точність порівняння величин |  Достовірність тверджень математики |  У пошуках аксіом |  Про аксіомах арифметики і логіки |  Палі, що йдуть углиб |  Платонізм в ретроспективі |  Число і величина |  геометрична алгебра |  Архімед і Аполлоній |  Занепад грецької математики |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати