На головну

арифметична алгебра

Успіхи геометрії відтіснили на задній план мистецтво рішення рівнянь. Однак воно продовжувало розвиватися і породило арифметичну алгебру. Виникнення алгебри з арифметики - це типовий метасістемний перехід. Коли ставиться завдання про рішення рівняння - незалежно від того, формулюється вона на звичайному розмовному мовою або на спеціалізованому, - це ще завдання арифметична. І коли вказується загальний метод рішення - на прикладах, як це робиться в початковій школі, або навіть у вигляді формули, ми все ще не виходимо за межі арифметики. Алгебра починається тоді, коли самі рівняння стають об'єктом діяльності, коли вивчаються властивості рівнянь і правила їх перетворення. Напевно, кожен, хто пам'ятає, як він познайомився з алгеброю в школі (якщо тільки це було на рівні розуміння, а не зазубрювання), пам'ятає і те радісне почуття подиву, яке відчуваєш, коли виявляється, що різнотипні арифметичні задачі, прийоми вирішення яких представлялися один з одним зовсім не пов'язаними, вирішуються шляхом однотипних перетворень рівнянь по декільком простим і зрозумілим правилам. Всі раніше відомі методи вписуються в струнку систему, відкриваються нові методи, вводяться в розгляд нові рівняння і цілі класи рівнянь (закон розростання передостаннього рівня), з'являються нові поняття, які мають рішуче ніякого сенсу в рамках власне арифметики: негативні, ірраціональні і уявні числа.

Принципову необхідність створення спеціалізованого мови для розвитку алгебри немає. Однак на ділі тільки створенням спеціалізованого мови завершується метасістемний перехід в головах людей. Спеціалізований мову дає можливість переконатися, що ми маємо справу з якоюсь новою реальністю - в даному випадку з рівняннями, які можна розглядати як об'єкт викладок, подібно об'єктам попереднього рівня - числам. Людям властиво не помічати повітря, яким вони дихають, і мови, яким весь час користуються. Створений же знову спеціалізований мову випадає зі сфери природної мови і представляється частиною немовних дійсності. Це сприяє метасістемному переходу. І, звичайно, величезну роль грають практичні зручності використання спеціалізованої мови: видимість виразів, зменшення витрат на переписування і т. П.

Арабський учений Мухаммед ібн Муса ал-Хорезмі (780-850) написав кілька творів з математики, які в XII в. були переведені на латинь і протягом чотирьох століть служили в Європі найважливішими навчальними посібниками. Одне з них - «Арифметика» - донесло до європейців десяткову систему числення і правила (алгоритми - від імені ал-Хорезмі) виконання чотирьох дій арифметики над числами, записаними за цією системою. Інше твір називалося «Книга про ал-джебр і ал-мукабала». Воно мало на меті навчити мистецтву рішення рівнянь, яке необхідно, за словами автора, «у випадках спадкування, розподілу майна, торгівлі і у всіх ділових взаєминах, а також при вимірюванні земель, проведенні каналів, геометричних обчислень і в інших випадках ...» « ал-джебр »і« ал-мукабала »- два прийоми, які ал-Хорезмі використовує для вирішення рівнянь. Ці прийоми він придумав не сам, вони описуються і використовуються вже в «Арифметиці» позднегреческого математика Діофанта (III ст.), Який прославився своїми методами вирішення цілочислових (діофантових) рівнянь. У тій же «Арифметиці» Діофанта зустрічаються і зачатки буквеної символіки. Тому якщо вважати когось родоначальником арифметичної алгебри, то, очевидно, це буде Діофант. Однак в Європі про алгебраїчних прийомах дізналися вперше від ал-Хорезмі, а праці Діофанта стали відомі набагато пізніше. Ніякої спеціальної символіки алгебри, навіть в зародковому стані, у ал-Хорезмі немає. Рівняння фігурують у вигляді запису на природній мові. Але ми для стислості опишемо ці прийоми і наведемо приклад, користуючись сучасною символікою.

Ал-джебр - це перенесення віднімаються членів з однієї частини рівняння в іншу; ал-мукабала - віднімання з обох частин рівняння однакового члена. Ці прийоми ал-Хорезмі розглядає як різні, бо поняття про негативний числі у нього відсутня.

Візьмемо для прикладу рівняння

7x - 11 = 5x - 3.

Застосовуючи прийом ал-джебр два рази - для від'ємника 11 і для від'ємника 3, отримуємо

7x + 3 = 5x + 11.

Тепер застосуємо два рази прийом ал-мукабала - для члена 3 і для члена 5х. отримуємо

2x = 8.

Звідси х = 4.

Отже, хоча ал-Хорезмі не використовує спеціального алгебраїчного мови, його книга містить перші намітки алгебраїчного підходу. Європейці гідно оцінили цей підхід і дали йому подальший розвиток. Саме слово «алгебра» походить від назви першого з прийомів ал-Хорезмі.



 Занепад грецької математики |  Італія, XVI століття

 Філософія Платона |  Точність порівняння величин |  Достовірність тверджень математики |  У пошуках аксіом |  Про аксіомах арифметики і логіки |  Палі, що йдуть углиб |  Платонізм в ретроспективі |  Число і величина |  геометрична алгебра |  Архімед і Аполлоній |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати