На головну

Занепад грецької математики

Б. Ван дер Варден пише2:

Після Аполлонія грецька геометрія відразу закінчується. Правда, були ще епігони, начебто Діокла і Зенодор, які час від часу вирішували деякі завдання, що залишилися їм від Архімеда і Аполлонія, немов крихти від бенкету великих. Писалися ще, правда, твори типу збірок на зразок твори Паппа Олександрійського (300 м); математика ще застосовувалася для практичних або астрономічних завдань, причому розроблялася плоска і сферична тригонометрія. Але, крім тригонометрії, нічого значного, нічого нового вже не з'являлося. Геометрія конічних перетинів дожила до Декарта в тій формі, яку надав їй Аполлоній; твори Аполлонія читалися дуже мало, а частиною були також втрачені. «Метод» Архімеда також був втрачений з поля зору, і проблема інтегрування залишалася без руху, поки за неї не взялися знову в XVII в. ...

Занепад грецької математики частково була викликана причинами зовнішнього порядку - політичними бурями, що охопили Середземноморську цивілізацію. Однак вирішальне значення мали все ж внутрішні причини. В астрономії, зауважує Ван дер Варден, розвиток йшов весь час по висхідній лінії; тут бували короткі і довгі зупинки, але після їх закінчення робота поновлювалася з того місця, де вона зупинилася. В геометрії ж мав місце явний регрес. Причина криється, звичайно, у відсутності алгебраїчного мови. У Ван дер Вардена ми читаємо:

Рівняння першого і другого ступеня можна було добре передати на мові геометричній алгебри; в крайньому випадку, це було можливо для рівнянь третього ступеня. Але піти далі можна було, тільки користуючись громіздкими і нудними засобами пропорцій.

Гіппократ, наприклад, приводив кубічні рівняння x3 = V до пропорції

a : х = х : у = у : b,

а Архімед писав рівняння третього ступеня

х2(a - х) = 2

у вигляді пропорції

(a - x): b = c2 : x2.

Цим шляхом ще можна дістатися до рівнянь четвертого ступеня; приклади цього, мабуть, можна знайти і у Аполлонія. Однак далі піти не можна; більше того, щоб отримувати результати цим надзвичайно складним методом, потрібно було ще мати математичним генієм і бути досить досвідченим по частині перетворення пропорцій за допомогою геометричних фігур. Нашими алгебраїчними позначеннями може користуватися кожен інженер або натураліст, а грецької теорією пропорцій і геометричній алгеброю -тільки дуже обдарований математик.

До цього приєднується ще інша обставина, а саме труднощі письмовій передачі.

Читання доказів у Аполлонія вимагає довгого і напруженого роздуми. Замість зручною алгебраїчної формули стоїть довга фраза, де кожен відрізок позначається двома буквами, які щоразу ще потрібно відшукувати на кресленні. Щоб зрозуміти хід думок, доводиться замінювати ці фрази сучасними стислими формулами ...

При усному поясненні на відрізки можна вказувати пальцем, можна робити наголос на особливо важливих місцях і, крім того, можна розповісти, яким чином вийшло доказ. Все це відпадає в письмовій формулюванні строго класичного стилю: докази закінчені, логічно обгрунтовані, але вони нічого не підказують. Не можеш нічого заперечити, відчуваєш, що попався в логічну пастку, але не бачиш, яка основна лінія міркувань за цим ховається.

Таким чином, поки що традиція не переривався, поки кожне покоління могло передавати свою методику наступного, все йшло добре і наука процвітала. Але як тільки по ряду причин зовнішнього характеру усна передача переривалася, і залишалися тільки одні книги, розуміти праці великих попередників ставало вкрай важко, а вийти за їх межі і рушити вперед - майже неможливо.

Чому ж греки, незважаючи на їх високу математичну культуру і велика кількість обдарованих математиків, так і не змогли створити алгебраїчного мови? Звичайний відповідь на це питання така, що цьому перешкодила саме їх висока математична культура, конкретніше - високий рівень вимог до логічної строгості теорії, бо ірраціональні числа, якими, як правило, виражаються значення геометричних величин, греки не могли розглядати як числа; якщо відрізки були несумірні, то вважалося, що числового відносини для них просто не існує. Це пояснення, хоча воно і вірно в загальних рисах, слід разом з тим визнати неточним і поверхневим. Прагнення до логічної строгості не може бути саме по собі негативним фактором у розвитку математики. Якщо воно виступає в якості негативного фактора, то, очевидно, лише в комбінації з якимись іншими факторами і навряд чи слід вирішальну роль в цій комбінації приписувати саме прагненню до строгості. Досконала логічна строгість в остаточних формулюваннях і доказах не заважала Архімеда користуватися нестрогими навідними міркуваннями. Чому ж вона перешкодила створенню алгебраїчного мови? Тут справа, звичайно, не просто в високому стандарті логічної строгості, а в усьому ладі мислення, в філософії математики. Декарт, створивши сучасний алгебраїчний мову, вийшов за рамки грецького канону, але це зовсім не означає, що він схибив жодним законів логіки чи нехтував доказами. І ірраціональні числа він мислив як «точні», а зовсім не як змінення на свої наближені значення. Деякі проблеми з логікою почалися вже після Декарта, в епоху бурхливого розвитку аналізу нескінченно малих. Тоді математики були так захоплені потоком відкриттів, що їм просто було не до логічних тонкощів. У XIX ст. з'явився час подумати, і під аналіз була підведена міцніша логічна основа.

Причини обмеженості грецької математики ми усвідомимо собі після того, як розберемо сутність перевороту в математиці, виробленого Декартом.



 Архімед і Аполлоній |  арифметична алгебра

 класичний період |  Філософія Платона |  Точність порівняння величин |  Достовірність тверджень математики |  У пошуках аксіом |  Про аксіомах арифметики і логіки |  Палі, що йдуть углиб |  Платонізм в ретроспективі |  Число і величина |  геометрична алгебра |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати