Головна

Про аксіомах арифметики і логіки

Первинні положення арифметики принципово мають ту ж природу, що і первинні положення геометрії, але вони, мабуть, ще простіше і очевидніше, їх заперечення ще більш неймовірно, ніж заперечення геометричних аксіом. Візьмемо, наприклад, аксіому, яка говорить, що для будь-якого числа a

a + 0 = a.

Число 0 зображує порожня множина. Чи можете ви уявити собі, що від злиття деякого безлічі з порожнім безліччю число елементів в ньому зміниться? Або ось ще одна арифметична аксіома: для будь-яких чисел a и b

a + (b + 1) = (a + b) + 1,

т. е. якщо одиницю додати до числа b і результат скласти з а, то отримаємо таке ж число, як якщо б ми спочатку склали a и b, А потім до результату додали одиницю. Якщо проаналізувати, чому ми не можемо уявити ситуацію, що суперечить цьому твердженню, то ми побачимо, що справа в тих же міркуваннях безперервності, які проявляються і в геометричних аксіомах. В процесі рахунку ми як би проводимо безперервні лінії, що з'єднують раховані предмети з елементами стандартного безлічі і, звичайно, лінії в часі (згадаймо походження поняття «предмет»), безперервність яких забезпечує тотожність числа самому собі.

Природний звуковий мову при перенесенні його на папір породжує лінійний мову, т. Е. Таку систему, всі підсистеми якої суть лінійні послідовності знаків. Знаки - це предмети, щодо яких передбачається тільки те, що ми вміємо відрізняти однакові (тотожні) знаки від різних. Лінійність природних мов є результатом того, що звукова мова розгортається в часі, а відношення слідування в часі легко моделюється відношенням порядку розташування на просторової прямий. Спеціалізація природної мови привела до створення математичного лінійного знакового мови, який в даний час утворює основу математики.

Діючи в рамках лінійних знакових мов, ми постійно користуємося деякими їх властивостями, які представляються нам настільки очевидними і само собою зрозумілими, що ми навіть не даємо собі праці сформулювати їх у вигляді аксіом. Візьмемо для прикладу таке твердження: якщо до символу (знаку) B приписати зліва символ A, А праворуч - символ C, То вийде таке слово (послідовність знаків), як якщо до A приписати справа В, а потім C. Це і йому подібні твердження мають математичної достовірністю, бо ми не можемо собі уявити, щоб було інакше. Один з розділів сучасної математики - теорія напівгруп - вивчає властивості лінійних знакових систем з аксіоматичної точки зору і найпростіші з їхніх властивостей оголошує аксіомами.

І геометричні, і арифметичні, і лінійно-знакові аксіоми мають одну і ту ж природу і спираються, по суті, на одні і ті ж фундаментальні поняття, такі як тотожність, рух, безперервність, порядок. Жодної принципової різниці між цими групами аксіом немає. І якщо вибирати для них якийсь один термін, то їх слід було б назвати геометричними або геометрично-кінематичними, так як всі вони відображають властивості нашого просторово-часового досвіду і просторово-часового уяви. Більш-менш значне розходження можна виявити лише в групі «власне геометричних» аксіом: деякі аксіоми, що стосуються прямих і площин, відображають більш специфічний досвід, пов'язаний з існуванням твердих тіл. Те саме можна сказати, по-видимому, і до метричних понять. Втім, і ця різниця досить умовне. Чи можемо ми говорити що-небудь серйозно про тих поняттях, які ми мали б, якби в світі не було твердих тіл?

До цього часу йшлося лише про абсолютну достовірності аксіом. А звідки у нас впевненість у достовірності тверджень, отриманих з аксіом шляхом логічного висновку?

З того ж джерела: наша уява відмовляється допускати ситуацію, коли шляхом логічного висновку ми з вірних посилок отримуємо невірні результати. Логічний висновок складається з послідовних кроків. На кожному кроці ми, спираючись на попередні твердження, отримуємо нове твердження. З розбору формального логічного висновку, який ми відкладемо до наступної глави, буде видно, що наша впевненість в тому, що на кожному кроці ми з істинних тверджень можемо отримати тільки істинне твердження, грунтується на логічних аксіомах2, Які представляються нам настільки ж достовірними, як і розглянуті вище математичні аксіоми, і з тієї ж причини - абсолютної неймовірне протилежній ситуації.

Маючи цю впевненість, ми набуваємо впевненість, що скільки б кроків ні містив би логічний висновок, він все одно буде володіти цим властивістю. Тут ми використовуємо таку найважливішу аксіому.

Аксіома індукції: Припустимо, що функція f(x) Залишає незмінним властивість Р(х), Т. Е.

(?х) {P(x))? P[f(x)]}.

позначимо через fn(x) Результат послідовного n-кратного застосування функції f(x), Т. Е.

f1(x) = f(x), fn(x) = f[fn(x)].

Тоді при будь-якому n функція fn(x) Також залишає незмінним властивість P(x), Т. Е.

(?n) (?х) {P(x)? P[fn(x)]}.

За своїм походженням і характером логічні аксіоми і аксіома індукції (яку відносять до арифметики, так як вона включає поняття числа) нічим не відрізняються від інших аксіом: всі вони суть математичні аксіоми. Різниця існує лише в характері їх використання. Коли математичні аксіоми застосовуються до математичних тверджень, вони стають елементами метасістеми. в рамках системи математично достовірних тверджень і ми називаємо їх логічними аксіомами. Завдяки цьому система математично достовірних тверджень стає здатною до розвитку. Велике відкриття греків полягало в тому, що можна докладати достовірне до достовірного, і отримувати таким чином нове достовірне.



 У пошуках аксіом |  Палі, що йдуть углиб

 Пізнання древніх в геометрії |  Арифметика з пташиного польоту |  Зворотний хід моделі |  рішення рівнянь |  Формула |  Доведення |  класичний період |  Філософія Платона |  Точність порівняння величин |  Достовірність тверджень математики |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати