Головна

позиційна система

Основи позиційної системи заклали вавилоняни. В системі числення, яку вони запозичили від своїх попередників - шумерийцев, ми з самого початку (т. Е. В найдавніших дійшли до нас глиняних табличках, які стосуються початку третього тисячоліття до н. Е.), Бачимо дві основні «великі одиниці» - десять і шістдесят. Звідки взялося число шістдесят - про це можна тільки здогадуватися. Відомий історик математики О. Нейгебауер вважає, що джерелом послужило відношення між основними грошовими одиницями, які мали ходіння в Дворіччя: одна мана (По грецьки міна) Становила шістдесят шекелів. Таке пояснення не задовольняє нашого цікавості, бо одразу ж виникає питання: а чому в мане шістдесят шекелів? Чи не тому саме, що в ходу була шестидесяткова система? Адже не тому ми вважаємо десятками і сотнями, що в рублі сто копійок! Ассириологии Ф. Тюро-Данжі призводить лінгвістичні аргументи на користь того, що система рахунку була первинним явищем, а система заходів - вторинним. Вибір числа шістдесят був, очевидно, історичною випадковістю, однак навряд чи можна засумніватися, що цієї випадковості сприяла важлива особливість числа шістдесят: воно має надзвичайно багато дільників: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 . Це властивість дуже корисно і для грошової одиниці (з тих пір як існують гроші, існує і розподіл їх порівну), і для заснування системи рахунку, якщо припустити, що якийсь мудрець ввів її, керуючись міркуваннями зручності обчислень.

Математична культура вавилонян відома нам по текстам, що належать до двох періодів: древневавілонскому (1800-1600 рр. До н. Е.) І епохи Селевкідів (305-64 рр. До н. Е.). Порівняння їх показує, що в математиці вавилонян будь-яких радикальних змін за ці півтора тисячоліття не сталося.

Вавилоняни зображували одиницю вузьким вертикальним клином  , А десять - широким горизонтальним  . Число 35 виглядало так:  . Аналогічно зображувалися числа до 59 включно. Але 60 зображувалося знову вузьким вертикальним клином, таким же, як одиниця! На найдавніших табличках можна бачити, що клин, який зображає 60, більше, ніж клинчик одиниці. Таким чином, число 60 не тільки розумілося як «велика одиниця», а й зображувалося, в буквальному сенсі слова, як велика одиниця. Відповідно з'явилися «великі десятки» для десятикратно збільшених великих одиниць. Потім відмінність між великими і маленькими клинами стерлося, вони стали розпізнаватися за своїм становищем. Так виникла позиційна система. Число 747 = 12? 60 + 27 вавилонянин записав би у вигляді:  . числа 602 = 3600 відповідає третій шестідесятірічних розряд і т. Д. Але саме чудове, що таким же чином вавилоняни зображували і дробу. У числі, що прямував за числом одиниць, кожна одиниця позначала 1/60, В наступному за ним числі - 1/3600 і т. д. У сучасній десяткового запису ми відокремлюємо цілу частину від дробової точкою або коми. Чим же відокремлювали цілу частину від дробової вавилоняни? Нічим! число  могло з рівним успіхом позначати і півтора і дев'яносто. Та ж невизначеність мала місце і в запису цілих чисел: числа n, n ? 60, n ? 602 і т. д. не відрізнялись. Множники або подільники, кратні шістдесяти, треба було додавати за змістом. Так як 60 - досить велике число, це до особливих неприємностей не приводило.

Порівнюючи вавилонську позиційну систему із сучасною, ми бачимо, що невизначеність в множнику 60 - результат відсутності знака нуль, який ми приписали б потрібне число раз в кінці цілого числа або початку дрібного. Іншим результатом відсутності нуля є ще більш серйозна невизначеність в інтерпретації числової записи, яка відповідає тому випадку, коли ми ставимо нулі в проміжних розрядах. Справді, як відрізнити в вавилонській записи число 3601 = 1? 602 + 0? 60 + 1 від числа 61 = 1? 60 + 1? Обидва ці числа зображуються двома одиницями. Іноді невизначеність такого роду усувалася шляхом відсуванням чисел один від одного із залишенням вільного місця для відсутнього розряду. Але цей метод не застосовувався систематично і в багатьох випадках велика прогалина між числами нічого не означав. В астрономічних таблицях епохи Селевкідів зустрічається позначення відсутнього розряду за допомогою знака, аналогічного нашої точки (роздільник фраз). У древневавилонского епоху нічого подібного ми не знаходимо. Як же примудрялися стародавні вавилоняни уникати плутанини?

вважають1, Що розгадка полягає в наступному.

Ранні математичні тексти вавилонян, що дійшли до нас, є збірники завдань і їх рішень, створені безсумнівно як навчальні посібники. Їх мета - навчити практичним прийомам рішення задач. Але ні в одному з текстів не описується, як виробляти арифметичні дії, зокрема такі складні для свого часу, як множення і ділення. Отже, передбачалося, що учні якимось чином вміють це робити. Так як абсолютно неймовірно, щоб обчислення проводилися в розумі, природно припустити, що вавилоняни користувалися якимось рахунковим приладом типу абака. На абаці числа виступають в своєму натуральному, стихійно позиційному вигляді, а спеціальний знак для нуля не потрібен, бо борозенка, відповідна порожньому розряду, просто залишається без камінчиків. Подання числа на абаці було основною формою завдання числа, і в цьому поданні не було ніякої невизначеності. Числа, які приводяться в клинописних математичних текстах, грають роль поетапних відповідей, покликаних контролювати правильність ходу рішення. Учень робив викладки на абаці і звірявся з глиняного табличкою. Ясно, що такого контролю відсутність знака для порожніх розрядів анітрохи не перешкоджало. Коли поширилися об'ємні астрономічні таблиці, службовці вже не для контролю, а в якості єдиного джерела даних, стали вживати і розділовий знак для позначення порожніх розрядів. Однак свій «нуль» вавилоняни ніколи не ставили в кінці числа: очевидно, вони його сприймали саме як роздільник, але не як повноправне число.

Познайомившись з єгипетської та вавілонської системами запису дробів і дій над ними, греки для астрономічних обчислень вибрали вавилонську, бо вона була незрівнянно краще. Але в запису цілих чисел вони зберегли свою алфавітну систему. Таким чином, грецька система, вживається в астрономії, виявилася змішаною: ціла частина числа зображувалася в десяткового непозиционной системі, дрібна частина - шестидесяткова позиційної.

Чи не занадто логічне рішення для творців логіки! З їх легкої руки ми і досі вважаємо годинник і градуси (кутові) десятками і сотнями, а ділимо їх на хвилини і секунди.

Зате греки ввели в позиційну систему сучасний знак 0 - нуль, зробивши його, як вважає більшість фахівців, від першої літери слова ????? - «Ніщо». При записи цілих чисел (крім числа 0) цей знак, природно, не знаходив застосування, бо алфавітна система, якою користувалися греки, була позиційною.

Сучасну систему запису чисел винайшли індійці на початку VI ст.н.е. Вавилонський позиційний принцип і грецький знак нуль для позначення порожнечі вони застосували ні до основи 60, а до основи 10. Система вийшла і послідовною, і економною, і не суперечить традиції, і надзвичайно зручною для обчислень.

Індійці передали свою систему арабам. В Європі позиційна система числення з'явилася в XVI ст. з перекладом знаменитої арабської арифметики ал-Хорезмі (ал-Хварізмі). Вона вступила в жорстоку боротьбу з традиційної римської системою і зрештою здобула перемогу. Однак ще в XVI ст. в Німеччині було видано і витримав багато видань підручник арифметики, в якому використовуються виключно «німецькі», т. е. римські цифри, або, краще сказати, числа, так як в той час цифрами називали тільки знаки індійської системи. У передмові автор пише: «Я виклав цю лічильну книгу звичайними німецькими числами на благо і користь непосвяченому читачеві (якому відразу важко буде вивчити цифри)». Десяткові дроби в Європі стали вживати починаючи з Симона Стевина (1548-1620).



 запис чисел |  Прикладна арифметика

 Дикість і цивілізація |  Метасістемний перехід до мовної діяльності |  магія слів |  Духи і інше |  Сміттєва купа уявлень |  Віра і знання |  Консерватизм докритического мислення |  виникнення цивілізації |  Помилка природи |  Рахунок і вимір |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати