Головна

Криві на площині.

  1.  Бюджетні обмеження і криві байдужості
  2.  Питання 29: Криві байдужості та їх застосування.
  3.  Закон пропозиції. криві пропозиції
  4.  Вивчення ковзання візки по похилій площині.
  5.  криві байдужості
  6.  Криві другого порядку
  7.  Криві другого порядку.

Кривий в системі координат  називається деякий безліч точок  площині, координати яких і тільки вони задовольняють рівняння  . рівняння  називається при цьому загальним рівнянням кривої .

 Алгебраїчної кривої другого порядкув системі координат  називається крива , загальне рівняння якої має вигляд:

,

де числа  - Нерівні нулю одночасно. Існує наступна класифікація кривих другого порядку: 1) якщо  , То загальне рівняння визначає криву еліптичного типу (Окружність (при  ), Еліпс (при  ), Порожня множина, точку); 2) якщо  , То - криву гіперболічного типу (Гіперболу, пару пересічних прямих); 3) якщо  , То - криву параболічного типу (Параболу, порожня множина, пряму, пару паралельних прямих). Коло, еліпс, гіпербола і парабола є невиродженими кривими другого порядку.

окружністю називається крива, яка визначається в деякій системі координат канонічним рівнянням ,  . Система координат, Про яку йдеться у визначенні, називається канонічної.

число  називається радіусом окружності, крапка  , Що є початком канонічної системи координат називається центром кола.

рівняння називається нормальним рівнянням окружності. Воно визначає коло з центром в точці  і радіусом  . Окружність імеетвід зображений на малюнку 1 (Додаток 2).

Рівняння кола, заданий загальним рівнянням в системі координат  , Завжди (методом виділення повних квадратів) можна привести до канонічного рівняння  в новій, канонічної системі координат .

3. 27Написати рівняння кривої, відстань від кожної точки якої до осі Ox вдвічі більша, ніж відстань до осі Oy.

3.28Написати рівняння кривої, відстань від кожної точки якої до точки  вдвічі менше відстані до точки .

3.29Знайти центр окружності, що проходить через точку  і що стосується осі абсцис в точці

3.30 Встановити, що кожне з наступних рівнянь визначає коло, знайти її центр і радіус:

а)  г) ;

б)  д) ;

в) ;е) .

3.31Визначити, як розташована пряма щодо кола: перетинає, стосується чи проходить поза нею, якщо пряма і окружність задані рівняннями:

а)

б)

в)

3.32Знайти кут між радіусами кола  проведеними в точки перетину її з віссю .

3.33дано точки и  . Написати рівняння кола, діаметром якої служить відрізок .

3.34Окружність стосується осі  на початку координат і проходить через точку  . Написати її рівняння і знайти точки перетину з биссектрисами координатних кутів.

еліпсом називається крива, яка визначається в деякій системі координат канонічним рівнянням ,  . Система координат, Про яку йдеться у визначенні, називається канонічної. Еліпс має вигляд зображений на малюнку 2 (Додаток 2).

числа и  називаються відповідно великий и малої півосями еліпса, точки , , ,  - його вершинами, осі и - осями симетрії, крапка  , Що є початком канонічної системи координат - центром симетрії (або просто центром) Еліпса, прямокутник зі сторонами ,  паралельними осях симетрії і центром в точці - основним прямокутником еліпса. точки и  , де  називаються фокусами еліпса, вектори и - фокальними радіус-векторами, А числа и - фокальними радіусами точки  , Що належить еліпсу. число (  ) називається ексцентриситетом еліпса і є мірою його «сплюснутости» (при  еліпс є окружністю). прямі и  називаються директрисами еліпса.

Рівняння еліпса, заданий загальним рівнянням в системі координат  , Завжди перетвореннями системи координат  (Поворотом, паралельним перенесенням, дзеркальним відображенням) можна привести до канонічного рівняння , в новій, канонічної системі координат .

3.35Написати канонічне рівняння еліпса, знаючи, що:

а) відстань між фокусами дорівнює 8, а мала піввісь ;

б) велика піввісь  , А ексцентриситет .

3.36 Встановити, що кожне з наступних рівнянь визначає еліпс, знайти його центр, піввісь, ексцентриситет і рівняння директрис:

а)

б) ;

в) ; г) .

3.37Визначити, як розташована пряма щодо еліпса: перетинає, стосується чи проходить поза ним, якщо пряма і еліпс задані рівняннями:

а) ;б) .

3.38Написати канонічне рівняння еліпса, у якого відстані одного з фокусів до кінців великої осі рівні 5 і 1.

3.39 Еліпс, симетричний щодо осей координат, проходить через точки и  . Написати його рівняння і знайти відстані точки  від фокусів.

3.40Еліпс, симетричний щодо осей координат, фокуси якого знаходяться на осі  , Проходить через точку  і має ексцентриситет  . Написати рівняння еліпса і знайти відстані точки  від фокусів.

гіперболою називається крива, яка визначається в деякій системі координат канонічним рівнянням ,  . Система координат, Про яку йдеться у визначенні, називається канонічної. Гіпербола має вигляд зображений на малюнку 3 (Додаток 2).

числа и  називаються відповідно дійсної и уявної півосями гіперболи, точки ,  - її вершинами, осі и - осями симетрії, крапка  , Що є початком канонічної системи координат - центром симетрії (або просто центром) Гіперболи, прямокутник зі сторонами ,  паралельними осях симетрії і центром в точці - основним прямокутником гіперболи. точки и  , де  називаються фокусами гіперболи, вектори и - фокальними радіус-векторами, А числа и - фокальними радіусами точки  , Що належить гіперболі. число (  ) називається ексцентриситетом гіперболи і є мірою її «сплюснутости». прямі и  називаються директрисами гіперболи.

прямі и  називаються асимптотами гіперболи. Вони проходять через протилежні вершини основного прямокутника гіперболи.

Рівняння гіперболи, заданий загальним рівнянням в системі координат  , Завжди перетвореннями системи координат  (Поворотом, паралельним перенесенням, дзеркальним відображенням) можна привести до канонічного рівняння , в новій, канонічної системі координат .

3.41 побудувати гіперболу  знайти:

а) піввісь; б) координати фокусів; в) ексцентриситет; г) рівняння асимптот; д) рівняння директрис.

3.42Написати канонічне рівняння гіперболи, якщо: а)рас-стояння між фокусами  , А між вершинами ;

б)речова піввісь  , А ексцентриситет .

3.43Встановити, що кожне з наступних рівнянь визна-ділячи гіперболу, знайти її центр, піввісь, ексцентриситет, рівняння асимптот і директрис:

а)

б) ;

в) ;г) .

3.44 на гіперболи  взята точка  з ординатою, що дорівнює 1. Знайти відстань її від фокусів.

3.45Гіпербола симетрична щодо осей координат, проходить через точку  і має уявну піввісь  . Написати її рівняння і знайти відстані точки  від фокусів.

параболою називається крива, яка визначається в деякій системі координат канонічним рівнянням ,  . Система координат, Про яку йдеться у визначенні, називається канонічної. Парабола має вигляд зображений на малюнку 4 (Додаток 2).

число  називається параметром параболи, вісь - віссю симетрії, крапка  , Що є початком канонічної системи координат - вершиною параболи. Крапка  називається фокусом параболи, вектор - фокальним радіус-вектором, А число - фокальним радіусом точки  , Що належить параболі. пряма  називається директоркою параболи.

Рівняння параболи, заданий загальним рівнянням в системі координат  , Завжди перетвореннями системи координат  (Поворотом, паралельним перенесенням, дзеркальним відображенням) можна привести до канонічного рівняння , в новій, канонічної системі координат .

3.46 Побудувати такі параболи і знайти їх параметр:

а)  б)  в)  г)

3.47Написати рівняння параболи: а) що проходить через точки ,  і симетричною відносно ; б)що проходить через точки ,  і симетричною відносно .

3.48 Встановити, що кожне з наступних рівнянь визначає параболу, знайти координати її вершини А і величину

параметра р:а)  б)

в) ;г) .

3.49на параболі  знайти точку, фокальний радіус якої дорівнює 4.5.

3.50Через фокус параболи  проведена пряма під кутом 120 ° до осі  . Написати рівняння прямої і знайти довжину утворилася хорди.

3.51 на параболі  знайти точку  , Найближчу до прямої  і обчислити відстань від точки  до цієї прямої.

3.52Написати рівняння гіперболи, що має вершини в фокусах, а фокуси - в вершинах еліпса .

3.53Знайти точки перетину асимптот гіперболи  з колом, що має центр в правому фокусі

гіперболи, і проходить через початок координат.

У завданнях 3.54-3.57написати канонічне рівняння кривої другого порядку, визначити її тип і знайти канонічну систему координат.

3.54 .

3.55 .

3.56 .

3.57 .

 Пряма лінія на площині. |  Рівняннями і в полярних координатах.

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати