Головна

Частотний критерій стійкості Найквіста

  1.  F - критерій Фішера
  2.  F-критерій Фішера
  3.  III. Теорія "стійкості" дрібного селянського господарства
  4.  S - критерій тенденцій Джонкіра
  5.  Th (критерій Рімана).
  6.  U критерій Маана-Уїтні
  7.  Абсолютні показники фінансової стійкості

На відміну від критерію Гурвіца, який заснований на аналізі характеристичного рівняння системи, критерій Найквіста дозволяє судити про стійкість замкнутої системи по АФХ розімкнутого контуру. У цьому полягає істотна перевага критерію, так як в тих випадках, коли невідомо математичний опис одного або декількох конструктивних елементів системи і оцінити їх властивості можна тільки експериментальним визначенням частотних характеристик, критерій Найквіста є єдино придатним.

Про з зв про в зв а я ф о р м у л і р про в до а до р і т е р і я Н а й до в і с т а: замкнута система управління стійка, якщо АФХ F (jw) Розімкнутого контуру не охоплює точку з координатами (-1; j0).

Це формулювання справедлива для систем, які в розімкнутому стані стійкі. Такими є більшість реальних систем, що складаються з стійких елементів.

 
 

 На рис. 7.2,а зображені АФХ розімкнутого контуру, відповідні трьом різним випадкам: 1 - Система стійка; 2 - Система знаходиться на колебательной кордоні стійкості; 3 - Система нестійка.

Мал. 7.2. АФХ розімкнутого контуру (а) І фізична трактування

критерію Найквіста (б)

Частота, при якій АЧХ А(W) (модуль функції W(jw)) приймає значення 1, називається частотою зрізу. Позначення цієї частоти wср. Частоту, при якій фазовий зсув j (w) дорівнює -p, позначають wp.

Користуючись введеними позначеннями, можна записати наступне умова знаходження системи на межі стійкості:

 (7.31)

Очевидно, що при знаходженні системи на кордоні стійкості wср= wp.

Дамо ф і з и ч е с к у ю т р а к т о в к у основний формулювання до р и- т е р і я Н а й до в і с т а. Припустимо, що на вході системи (див. Рис. 7.2,б) Діє гармонійний сигнал g(t) =gmsinwt з малою амплітудою gm. Нехай частота w виявиться рівною частоті wp, При якій фазовий зсув j (w), створюваний ланкою W(jw), дорівнює -p. При цьому сигнал негативного зворотного зв'язку виявиться в фазі з сигналом g(t) І миттєві значення сигналів тому будуть складатися.

Якщо на частоті w = wp модуль ?W(jwp) ?окажется рівним одиниці, т. Е. Якщо виконується умова (7.31), то в контурі системи будуть підтримуватися незгасаючі коливання навіть після зникнення зовнішнього впливу g(t), Т. Е. Система буде перебувати на кордоні стійкості. характеристика W(j?) при цьому буде проходити через точку (-1; j0).

Якщо на частоті w = wp модуль ?W(jwp) ? <1, то після зникнення зовнішнього впливу коливання в контурі затухнуть, т. Е. Система стійка. Характеристика не охоплює точку (-1; j0).

Якщо ж модуль ?W(jwp) ?> 1, то амплітуда сигналів в контурі буде необмежено зростати, т. Е. Система буде нестійкою. характеристика W(jw) в цьому випадку охопить точку (-1; j0).

Таким чином, особлива роль точки (-1; j0) полягає в тому, що вона, по-перше, відповідає перетворенню негативного зворотного зв'язку в позитивну, і, по-друге, є граничною між режимами посилення і ослаблення сигналів ланкою W(jw).

Іноді на практиці зустрічаються системи, в контурі яких є одне або кілька нестійких елементів. Такі з собою та т м и в р а з о м до -н у т о м з о с т о я н і й н е у с т о ї год і в и. Для судження про їх стійкості необхідно використовувати з л е д у ю щ у ю ф о р м у л і р про в до у к р і -т е р і я Н а й до в і с т а: замкнута система управління стійка, якщо АФХ W (jw) Розімкнутого контуру охоплює l/ 2 раз точку з координатами (-1; j0), Де l - число правих коренів характеристичного рівняння розімкнутого контуру.

Дане формулювання критерію Найквіста є більш загальною, ніж попередня. Дійсно, якщо розімкнена система стійка (т. Е. Якщо l= 0), то для стійкості замкнутої системи АФХ W(jw) повинна точку (-1; j0) охоплювати нуль раз, т. Е. Охоплювати.

З обох формулювань випливає, що для судження про стійкість системи необхідно попередньо встановити, стійка вона в розімкнутому стані. Зазвичай ця допоміжна задача вирішується порівняно легко за допомогою критерію Гурвіца. Для цього прирівнюють до нуля знаменник ПФ W(p) Розімкнутого контуру і аналізують це характеристичне рівняння.

У багатьох практичних випадках стійкість розімкнутого контуру може бути оцінена без будь-яких обчислень, безпосередньо з вигляду входять в контур ланок.

Приклад 1.Визначимо за допомогою критерію Найквіста максимально допустиме значення загального ПК системи, що складається з трьох інерційних ланок першого порядку з однаковими постійними часу Т1=Т2=Т3=Т.

ПФ розімкнутого контуру системи

 (7.32)

Амплітудна частотна функція контуру

 (7.33)

фазова частотна функція

 (7.34)

Система буде перебувати на кордоні стійкості, якщо АФХ розімкнутого контуру пройде через точку (-1; j0), т. Е. Якщо при деякій частоті w = wp= wкр одночасно виконується умова:

 (7.35)

Для даної системи умови (7.35) мають вигляд

 (7.36)

 (7.37)

З умови (7.37) маємо

 (7.38)

Підставляючи умова (7.38) в умову (7.36), отримаємо шукане значення передавального коефіцієнта k= 8.

З наведеного рішення слід також, що граничне значення ПК не залежить від абсолютного значення постійних часу Т.

Критерій Найквіста зручно використовувати для а н а л і з а у с т о ї год і -в про з т і з собою та т м, з о д е р ж а щ и х з в е н о з а п о з д и в а н і я. Якщо ланка запізнювання включено послідовно з іншими ланками (рис. 7.3,а), То АФХ розімкнутого контуру може бути представлена ??як добуток

 (7.39)

 
 

 де W? (jw) - еквівалентна амплітудно-фазова функція інших ланок.

Мал. 7.3. Оцінка стійкості СУ з запізненням:

а - Структура СУ; б - АФХ розімкнутого контуру

характеристику W(jw) будують таким чином. Спочатку будують криву W? (jw), а потім кожен вектор, відповідний частоті wi, Повертають на кут wit (рис. 7.3,б).

Відзначимо, що ланки запізнювання, як правило, погіршують стійкість систем.

Приклад 2. Визначимо, чи буде стійка статична система, що складається з пропорційного керуючого пристрою і статичного інерційного об'єкта першого порядку з запізненням, при наступних значеннях параметрів:

АФХ розімкнутого контуру

 (7.40)

амплітудна функція контуру

 (7.41)

фазова функція

 (7.42)

Знайдемо спочатку частоту wp, При якій j (wp) = - P. Вирішуючи методом послідовних наближень трансцендентне рівняння

 (7.43)

отримаємо wp»0,085 з-1.

Тепер обчислимо значення А(W) при частоті wp»0,085 з-1.

 (7.44)

Отже, АФХ не охопила точку (-1; j0). Система стійка.

Якщо розімкнутий контур системи утворений послідовним з'єднанням типових динамічних ланок, то доцільно частотну характеристику контуру будувати в л о г а р і ф м і ч е с ь к о ї с і з т е м е к о о р д і -н а т і про стійкість системи судити по виду цієї характеристики. При цьому використовують наступну р о з н о в і д н о с т ь о з н о в н о ї ф о р м у-л і р про в до і до р і т е р і я Н а й до в і с т а: замкнута система стійка, якщо при досягненні фазової частотної характеристикою значення -180о логарифмічна амплітудна характеристика буде негативною (рис. 7.4, а, лінія 1).

Мал. 7.4. Логарифмічні частотні характеристики статичних систем:

1 - Стійкою; 2 - Знаходиться на межі стійкості; 3 - нестійкою

Дійсно, якщо L(W) <0, то А(W) <1. Тому негативність L(W) при j (wp) = - 180о свідчить про те, що АФХ розімкнутого контуру не охоплює точку (-1; j0).

Логарифмічні частотні характеристики L(W) і j (w) розімкнутого контуру знаходять підсумовуванням ординат відповідних характеристик окремих ланок. Фазові характеристики окремих ланок будують або за кількома обчисленим точкам, або за допомогою спеціальних шаблонів. Амплітудні характеристики окремих ланок будують приблизно - у вигляді сукупності прямолінійних відрізків за простими правилами, викладеними в розділі 3.

Критерій Найквіста, застосовуваний в логарифмічній системі координат, називають часто логарифмическим критерієм.

Приклад 3. Визначимо по логарифмічним частотним характеристикам стійкість статичної системи, що складається з трьох інерційних ланок першого порядку з постійними часу Т1= 0,2 с; Т2= 0,1 с; Т3= 0,05 с. Передавальний коефіцієнт розімкнутого контуру k= 20.

Сполучають частоти ланок wз 1= 1 /Т1= 5 з-1; wс2= 1 /Т2= 10 з-1; wс3= 1 /Т3= 20 з-1.

Відповідно до цих значеннями побудовані наближена ЛАЧХ L(W) (рис. 7.5,а) І фазова характеристика j (w) (рис. 7.5,б) Розімкнутого контуру, яка отримана відповідно до виразу

 (7.45)

За графіком бачимо, що при j (w) = - 180о функція L(W)> 0. Отже, система нестійка.

а

б

Мал. 7.5. Приклад оцінки стійкості по логарифмічним

частотним характеристика

 Алгебраїчний критерій стійкості Гурвіца |  СУ на стійкість

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати