Головна

КВАНТОВА СТАТИСТИКА ЕЛЕКТРОНІВ У металів.

  1.  I. СТАТИСТИКА ОСНОВНИХ ВИРОБНИЧИХ ФОНДІВ
  2.  II. НАША фабрично-заводського СТАТИСТИКА
  3.  II. СТАТИСТИКА оборотних ФОНДІВ
  4.  III. СТАТИСТИКА ВИРОБНИЦТВА І РЕАЛІЗАЦІЇ ПРОДУКЦІЇ
  5.  IV. СТАТИСТИКА ТРУДОВИХ РЕСУРСІВ
  6.  V. СТАТИСТИКА ПРОДУКТИВНОСТІ ПРАЦІ
  7.  V2: {{11}} Тема 1. Статистика населення

Електрони в металу мають хвильові властивості і їх рух описується рівнянням Шредінгера. Наслідком цього є те, що енергія та інші характеристики руху електрона стають квантовими, тобто можуть приймати лише строго певні значення. Кожне значення характеристики руху електрона відповідає певному квантовому станом.

Відповідно до співвідношенням невизначеностей () два стану електрона з наборами координат і проекцією імпульсів и  невиразні, якщо

 (6.1)

У квантової статистики за елементарну комірку шестімерной фазового простору приймається обсяг, рівний

 (6.2)

При розгляді вільних електронів передбачається, що їх потенційна енергія однакова у всіх точках металу, внаслідок чого розподіл в об'ємі V є рівномірним.

У цьому випадку замість шестімерной фазового простору користуються тривимірним простором імпульсів Px, Py, Pz і розбивають його на осередки розміром

 (6.3)

Кожен такий осередку відповідає одне квантовий стан.

Електрони підкоряються принципу Паулі, згідно з яким в кожному квантовому стані з енергією E, Може перебувати не більше двох електронів, що відрізняються напрямками спінів. Це означає, що кожна клітинка в просторі імпульсів об'ємом  може вмістити не більше двох електронів.

Квантова статистика вважає всі електрони не відрізнятись один від одного. Тому перестановка їх місцями не призводить до нового стану.

Статистичний розрахунок, заснований на зазначених вище властивості електронного газу призводить до наступного виразу функції розподілу електронів по енергіях:

 (6.4)

де  - Ймовірність заповнення стану з енергією E електроном, EF - Енергія Фермі (сенс цієї величини буде визначено нижче). Функція (6.4) називається функцією розподілу Фермі-Дірака. Ця функція описує розподіл часток з напівцілим спіном, які називаються фермионами.

Визначимо число електронів в одиниці об'єму, енергія яких полягає в інтервалі від E до dE. Побудуємо в просторі імпульсів дві концентричні сфери з радіусами P и P + dP (Рис.6.1).  Цим сферам відповідають енергії E и E + dE. Розділимо обсяг кульового шару між сферами  на обсяг елементарної комірки, тоді отримаємо число елементарних осередків:

 (6.5)

Врахуємо, що для станів у дна дозволеної зони (зони провідності) и  , Тоді для Z отримаємо вираз:

 (6.5)

Поділивши обидві частини виразу (6.5) на обсяг металу V и dE визначимо функцію міцності квантових рівнів Rn (E), Тобто число рівнів припадають в одиницю об'єму металу на одиничний інтервал енергії:

 (6.6)

Залежність щільності квантових рівнів від енергії представлена ??на рис.6.2.

 З виразу (6.6) і рис. 6.2. випливає, що квантові рівні розташовуються тим ближче один до одного, чим більше енергія.

Якщо у формулі (6.6) замість ефективної маси електрона  записати ефективну масу дірки  , То вона буде описувати розподіл енергетичних рівнів у верхній частині дозволеної зони (валентної зони).

Відповідно до фізичним змістом функції розподілу Фермі-Дірака вона дорівнює відношенню числа електронів в одиниці об'єму, що мають енергію в інтервалі від E до E + dE до числа квантових рівнів в цьому інтервалі:

 , (6.7)

де множник 2 в знаменнику враховує принцип Паулі.

З (6.7) знаходимо число електронів в одиниці об'єму металу, енергія яких укладена в інтервалі від E до E + dE:

 (6.8)

Для знаходження числа електронів, енергії яких укладені в остаточному інтервалі від E1 до E2, Необхідно вираз (6.8) проинтегрировать:

 (6.9)

Проаналізуємо функцію Фермі - Дірака (6.4). Якщо температура металу прагне до абсолютного нуля, то для E> EF функція f(E)0, для E F функція f(E)1, тобто рівні, розташовані вище рівня Фермі, які не зайняті електронами (ймовірність заповнення дорівнює нулю), а рівні розташовані нижче рівня Фермі обов'язково зайняті електронами (ймовірність заповнення дорівнює одиниці).

 На рис. 6.3 представлений графік функції f(E) при Т = ОК.

Таким чином, енергія Фермі являє собою максимальну енергію, яку можуть мати вільні електрони в металі при абсолютному нулі температури.

Рівень, якому відповідав би енергія Фермі, називається рівнем Фермі. Цей рівень відокремлює при Т = ОК зайняті електронами стану від незайнятих.

Знайдемо загальна кількість вільних електронів в одиниці об'єму металі при Т = ОК. Для цього підставимо вираз (6.8) в формулу (6.9) і врахуємо, що E1 = 0, E2 = EF, f(E) = 1:

 (6.10)

З (6.10) знаходимо для енергії Фермі вираз:

 (6.11)

Розрахунок енергії Фермі для характерних значень n и  у металів дає  еВ.

Обчислимо середню енергію  електрона провідності при Т = ОК. Для цього розрахуємо сумарну енергію електронів провідності в одиниці об'єму металу:

Розділивши отримане вираз на загальне число електронів (6.10), отримаємо

 (6.12)

З виразу (6.12) випливає, що при абсолютному нулі температури середня енергія електронів провідності в металі не дорівнює нулю. Відповідно до класичної статистикою Максвелла - Больцмана при температурі абсолютного нуля середня кінетична енергія молекул ідеального газу звертається в нуль.

Стан електронного газу в металах, що характеризується різким відмінністю його властивостей від властивостей ідеального газу називають виродженим.

Знайдемо умова при якому виродження знімається. Якщо в функції Фермі - Дірака (6.4)

 , (6.13)

то (6.4), можна записати у вигляді:

 , (6.14)

де .

Вираз (6.14) являє собою функцію Максвелла-Больцмана.

Таким чином, при виконанні умови (6.13) розподіл Фермі-Дірака переходить в розподіл Максвелла- Больцмана.

Перепишемо умова (6.13) у вигляді:

 (6.15)

З (6.15) випливає, що повинно виконуватися нерівність

 (6.16)

Знайдемо концентрацію електронів провідності в металах при дотриманні умови (6.13).

Для цього підставимо в формулу (6.9) функцію розподілу у вигляді ,  з (6.6) і  (Це можливо так як для E> EF f(E)= 0), тоді отримаємо:

Інтеграл в правій частині є табличним.

він дорівнює  кг. Таким чином, для n отримуємо вираз:

 (6.17)

звідки знаходимо:

 (6.17)

З урахуванням виразу (6.17) умова зняття виродження (6.16) приймає вид:

 (6.18)

При виконанні зворотного нерівності

 (6.19)

електронний газ буде виродженим.

З виразу (6.19) випливає, що виродження електронного газу сприяє мала ефективна маса електронів, висока їх концентрація і низька температура. Відповідний розрахунок показує, що у всіх металах електронний газ виявляється виродженим до температур в декілька тисяч градусів.

температура TF, При якій виродження електронного газу в металі знімається, називається температурою Фермі. Груба оцінка величини TF може бути отримана, якщо ліву частину виразу (6.18) прирівняти до 1. Розрахунок дає для TF величину порядку  К.

 Розглянемо вплив температури на розподіл електронів по енергіях. З підвищенням температури тепловому порушення можуть піддаватися лише електрони вузької смуги енергій порядку КТ, розташованій поблизу рівня Фермі (рис.6.4).

Аналіз виразу функції Фермі (6.4) при Т ? ОК показує, що якщо E = EF, то f(E)=1 \ 2, при E> EF f(E)<1 \ 2, а якщо E F, то f(E) 1 \ 2.

графіки функції f(E) при Т = ОК і при Т ? ОК представлені на рис.6.4, б.

На малюнку видно, що криві відрізняються один від одного характером спаду в області енергій, що відрізняються від енергій Фермі на КТ. Це якраз відображає зазначене вище умова теплового збудження електронів. Характер розподілу по енергіях електронів розташовуються на більш глибоких рівнях, залишається таким же, як і при абсолютному нулі температури. Плавний ділянку спаду в залежності f(E) для E> EF переходить в криву максвелловскую розподілу, відповідно до якого розподілені електрони по енергіях у вузькій смузі енергій порядку КТ. Відповідний розрахунок показує, що змінити свою енергію можуть ~ 1% електронів провідності металу. Відзначимо, що з підвищенням температури рівень Фермі змінює своє положення. Для знаходження залежності EF (Т) знайдемо загальне число вільних електронів в металі проинтегрировав (6.8) в межах від 0 до ?:

Інтегрування в правій частині отриманого виразу може бути виконано наближено в області низьких температур (Т  ):

Поклавши в другому доданку в дужках  , знайдемо

 (6.20)

Так як аж до температури плавлення металу  , Залежність (6.20) дуже слабка.

 РУХ ЕЛЕКТРОНА В кристал під ДІЄЮ ЕЛЕКТРИЧНОГО ПОЛЯ. ЕФЕКТИВНА МАСА. |  ПОНЯТТЯ Про КВАНТОВОЇ ТЕОРІЇ ЕЛЕКТРОПРОВІДНОСТІ МЕТАЛІВ І надпровідності


 КРИСТАЛІЧНА РЕШІТКА |  ПОНЯТТЯ Про РІДКИХ КРИСТАЛАХ |  КЛАСИФІКАЦІЯ КРИСТАЛІВ ПО ПРИРОДІ ЧАСТИНОК І ТИПАМИ СИЛ Взаємодія МІЖ НИМИ |  Деффект В КРИСТАЛАХ |  ОСНОВИ зонної теорії твердих ТЕЛ |  НАБЛИЖЕННЯ СИЛЬНОЮ ЗВ'ЯЗКУ |  НАБЛИЖЕННЯ СЛАБКІЙ ЗВ'ЯЗКУ |  РОЗПОДІЛ ТВЕРДИХ ТІЛ НА метали, діелектрики І НАПІВПРОВІДНИКИ |  ВЛАСНІ І домішкових напівпровідників. |  Рівноважна концентрація ВІЛЬНИХ НОСІЇВ І ПОЛОЖЕННЯ РІВНЯ ФЕРМІ У напівпровідників |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати