Головна

Чисельні методи рішення ОДУ і систем ОДУ високих порядків

  1.  B. Основна система Шести йог Наропи
  2.  B. Система суспільно-економічних формацій (формаційний підхід).
  3.  B.5. Нутрощі операційної системи
  4.  CAD / CAM системи високого рівня
  5.  CAD / CAM системи нижнього рівня
  6.  CAD / CAM системи середнього рівня
  7.  CТРОЕНІЕ атома. МЕТОДИКА РІШЕННЯ ТИПОВИХ ЗАВДАНЬ

Звичайне диференціальне рівняння з невідомою функцією y(t), В яке входять похідні цієї функції аж до y(N) (t), Називаються ОДУ N-го порядку. Якщо є таке рівняння, то для коректної постановки задачі Коші потрібно задати N початкових умов на саму функцію y(t) І її похідні від першого до (N-1) -го Порядку включно. Для вирішення завдань Коші для ОДУ вищих порядків можна використовувати прямі методи, а також зводити їх до систем рівнянь першого порядку.

Розглянемо в загальному вигляді задачу Коші для рівняння другого порядкущодо функціїу(x):

d2у/dx2= f(x, у, dу/dx),

у(x0) = у0, /dx(x0) = z0. (12.27)

Якщо використовувати метод відомості до системи рівнянь першого порядку, то необхідно ввести другу невідому функцію z(x) =/dx. Тоді задача Коші (12.27) другого порядкадля однієї функціїу(x) Буде замінена наступною еквівалентною системою з двох рівнянь першого ступеня щодо двох функцій у(x) і z(x):

 dу/dx = z(x),

dz/dx = f(x, у, z),

у(x0) = у0, z(x0) = z0. (12.28)

Отримана система (12.28) являє собою окремий випадок загальної задачі (12.23) при j (x,у,z) = z(x), Y (x,у,z) = f(x, у, z).

Приклад.Знайти чисельне рішення задачі Коші для рівняння другого порядку:

d2у/dx2+ 2/dx + у(x) = x, у(0) = 1, /dx(0) = 0

на відрізку [0,1] з кроком h = 0,2 а) явним методом Ейлера, б) методом Хойна (модифікованим методом Ейлера) і в) методом Рунге - Кутта. Результати розрахунків порівняти з точним рішенням: у(x) = 3e-x +2xe-x +x - 2.

введемо функцію z(x) =/dx. Тоді отримаємо еквівалентну задачу Коші для системи двох ОДУ першого порядку:

 dу/dx = z(x),

dz/dx = x - 2/dx - у(x) = x - 2z(x) - у(x),

у(0) = 1, z(0) = /dx(0) = 0.

Розрахункові схеми (12.24) - (12.26) приймають такий вигляд.

1. Явний метод Ейлера:

2. Метод Хойна (модифікований метод Ейлера):

3. Метод Рунге - Кутта:

вузлові значення xi, Точні значення (yтi) функції у(x), Результати розрахунку по явною схемою Ейлера (yт,y1,z1, Dy1= iyт-y1i), а також за методом Хойна (y2,z2, Dy2= iyт-y2i) наведені в Таблиці 12.3.

Таблиця 12.3. Результати розрахунку по явною схемою Ейлера і методу Хойна

xi yтi y1i z1i Dy1i y2i z2i Dy2i
 0.2  0.983685  -0.2  0.016315  -0.18  0.016315
 0.4  0.947216  0.96  -0.28  0.012784  0.962  -0.244  0.014784
 0.6  0.905009  0.904  -0.28  0.001009  0.9096  -0.2314  0.004591
 0.8  0.866913  0.848  -0.2288  0.018913  0.85846  -0.17048  0.008453
 0.839397  0.80224  -0.14688  0.037157  0.818532  -0.08127  0.020865

Результати розрахунку по Схема Рунге - Кутта (xi, yтi, k1i - k4i, y3i, Dy3= iyтi - y3ii) наведені в Таблиці 12.4.

Таблиця 12.4. Результати розрахунку по Схема Рунге - Кутта

xi yтi k1i k2i k3i k4i y3i Dy3i
 -0,1  -0,07  -0,15
 0,2  0,9836  -0,1462  -0,1953  -0,1740  -0,2094  0,9635  0,0201
 0,4  0,9472  -0,2065  -0,2199  -0,2050  -0,2095  0,9213  0,0259
 0,6  0,9050  -0,2073  -0,1963  -0,1865  -0,1698  0,8832  0,0218
 0,8  0,8669  -0,1682  -0,1412  -0,1350  -0,1048  0,8557  0,0112
 0,8394  -0,1036  -0,0668  -0,0631  -0,0249  0,8428  -0,0034

При вирішенні систем ОДУ N-го порядку, у яких максимальний порядок рівнянь дорівнює N, Використовується той же принцип, що і для окремих рівнянь - зведення їх до систем рівнянь першого порядку.

Питання для перевірки знань.

1. Яке диференціальне рівняння називають ОДУ N-го порядку?

2. Які початкові умови повинні бути задані в початковій точці для коректної постановки задачі Коші з ОДУ N-го порядку?

3. Які два основних способи можна застосувати для розв'язання задачі Коші з ОДУ N-го порядку?

4. Як задачу Коші для рівняння другого порядку приводиться до еквівалентної системи з двома лінійними ОДУ?

 



 Чисельні методи розв'язання систем ОДУ першого порядку |  Метод кінцевих різниць рішення крайових задач для ОДУ

 Загальні поняття теорії ОДУ. Їх чисельні рішення |  Чисельні методи розв'язання задачі Коші для ОДУ першого порядку. методи Ейлера |  Методи Рунге - Кутта рішення задачі Коші для ОДУ першого порядку |  Класичний метод Рунге - Кутта 4 порядку |  Однокрокові і багатокрокові методи інтегрування ОДУ першого порядку. методи Адамса |  Методи прогнозу і корекції |  Апроксимація похідних. |  Контрольне завдання. Лабораторна робота 5. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати