Головна

Методи прогнозу і корекції

  1.  Gt; Функції та методи інноваційного менеджменту> Прогнозування в інноваційному менеджменті
  2.  I. Якісні методи системного аналізу.
  3.  III) Методи управління
  4.  III. МЕТОДИ РІШЕННЯ СТАНУ ЕЛЕКТРИЧНОЇ СИСТЕМИ
  5.  III. Технологія і методи менеджменту.
  6.  IV. МЕТОДИ СКЛАДАННЯ
  7.  PR. Цілі, завдання, функції, методи.

Неявні методи Адамса рішення ОДУ першого порядку більш точні в порівнянні з явними схемами. Однак у них на завершальному етапі розрахунку схеми необхідно вирішувати нелінійне в загальному випадку рівняння щодо величини yi+1 шуканої функції y(х) В кінцевій точці хi+1 поточного кроку інтегрування.

Методами прогнозу і корекції (Які також називаютьпредсказивающе-виправляють методами або схемами "предиктор-коректор") В обчислювальній математиці називають групу методів чисельного вирішення різних завдань, у яких кожен крок складається з двох основних дій. Перше (предиктор) полягає в обчисленні грубого початкового наближення шуканої величини, виконується одноразово. Друга дія (коректор) уточнює його. Ця дія може виконуватися як одноразово, так і ітераційно необмежену кількість разів - для досягнення необхідної точності. залежно від поєднання предіктора (способу розрахунку початкового наближення) і коректора (способу його уточнення) можуть бути отримані різні варіанти чисельних методів розв'язання задач розглянутого виду.

При використанні методів прогнозу і корекції в рішенні ОДУ можна отримати високу точність розрахунку. Найбільш просто принцип прогнозу і корекції може бути реалізований за допомогою методів Адамса, в яких для розрахунку чергових величин yi+1 и fi+1. застосовуються тільки раніше знайдені вузлові значення похідної fj і останнє значення шуканої функції yi. В цьому випадку явний метод Адамса (Адамса-Башфорта) використовується в якості предиктора, а неявний (Адамса-Мултона) - в якості коректора. Розглянемо приклади побудови таких методів.

1. Розглянутий раніше метод (схема) Хойна (12.12), в якому предиктором є метод Ейлера (12.8) - найпростіший однокроковий (k =1) варіант явного методу Адамса, що зводиться до інтегрування f(x, y) На приватних відрізках по формулі лівого прямокутника. Як коректора використовується найпростіший двохкроковий (k =2) неявний метод Адамса (12.15), в якому інтегрування f(x, y) Виконується за методом трапецій. Отримана точність методу O(h2).

2. Також часто використовується поєднання 4-х крокових методів Адамса: предиктор - явна 4-х крокова формула Адамса, коректор - неявна 4-х крокова формула Адамса. точність методу O(h4).

Альтернативним підходом до застосування методів Адамса при побудові розрахункових схем в методах прогнозу і корекції є застосування як в ПРЕДИКТОРИ, так і в коректор не полиномов, що залежать від вузлових значень похідної fj і останнього значення шуканої функції yi (Як в методах Адамса), а більш складних виразів, які передбачають поряд з шуканими yi+1 и fi+1 розрахунок і подальше використання в формулах допоміжних величин. За рахунок цього вдається підвищити точність методів.

Найбільш вживаними методами прогнозу і корекції даного типу при вирішенні ОДУ першого порядку є наступні.

1. метод Мілна. Метод четирехшаговий, причому в вузлі хi-3 використовується не похідна fi-3, А значення функції yi-3. Виконуються наступні дії:

а) обчислюють початкове "грубе" значення yi+1 шуканої функції y(х) В вузлі i +1:

yi +1* = yi-3 + (4h/ 3)? (2fi - fi-1 +2 fi-2);

б) розраховують похідну y(х) В вузлі i +1 при грубому значенні yi+1*:

fi+1* = f(xi+1, yi+1*);

в по fi+1* Визначають підсумкове уточнене значення yi+1 функції y(х) В вузлі i +1, а також відповідне значення похідної fi+1:

yi +1 = yi-1 + (1/3)? h ? (fi-1 + 4 fi + fi +1*),

fi+1 = f(xi+1, yi+1). (12.21)

точність методу O(h5).

2. метод (формули) Хемминга, В яких спочатку обчислюється "прогноз" yi+1*, потім - "поправка"Dyi+1, Потім "корекція" yi+1**, і тільки потім - підсумкове наближене рішення yi+1. Метод четирехшаговий. При обчисленні прогнозних значень і їх корекції використовуються не тільки вузлові значення похідної f(x, y(x)), Але значення в вузлах шуканої функції y(х) І допоміжних величин.

yi +1* = (2yi-1 + yi-2) / 3 + h ? (191fi - 107 fi-1 +109 fi-2 - 25 fi-3) / 72;

Dyi +1 = yi +1* - (707/750)? (yi* - yi**);

yi +1** = (2yi-1 + yi-2) / 3 + h ? (25 f(xi +1, Dyi +1) + 91fi + 43 fi-1 +9 fi-2) / 72;

yi+1 = yi+1** + (43/750) ( yi+1* - yi+1**). (12.22)

точність методу O(h6).,

У двох останніх методах прогнозу і корекції за рахунок відмови від використання інтерполяційних поліномів і переходу до більш загальним формулам вдалося підвищити порядок методу при тому ж самому числі кроків, що і в 4-х шаговом методі Адамса.

12.5.1. Ітераційна реалізація методів прогнозу і корекції

Апріорні оцінки теоретично дозволяють розрахувати граничні значення абсолютних похибок для одержуваних чисельних рішень диференціальних рівнянь. Оскільки такі оцінки виражаються через похідні інтегрованих функцій, то, фактично, їх основне призначення - задавати ступінь точності методу по кроку інтегрування h, Т. Е. Визначати пропорційність зміни точності деякій мірі від h.

Наприклад, якщо явний метод Ейлера має перший порядок точності О(h1), То зі зменшенням h в 10 разів точність результату підвищується теж в 10 = 101 раз. Метод Рунге-Кутта має 4 порядком точності О(h4), При зменшенні кроку в 10 разів, результат поліпшується в 10 000 = 104 раз. Оскільки цей метод в порівнянні з методом Ейлера використовує всього в 4 рази більше обчислень, то використання його вигідніше. З підвищенням порядку точності методу зростає складність його алгоритму.

Назвемо для стислості розглянуті методи рішення неявних рівнянь методами з одноразовим уточненням, Оскільки в них корекція проводиться шляхом разового розрахунку по заданих формулах. Позитивною властивістю даних неявних методів інтегрування ОДУ першого порядку є те, що обсяг обчислень в їх алгоритмах заздалегідь відомий за рахунок того, що при заданій постійній довжині кроку h інтегрування на кожному з приватних відрізків [xi, xi+1] Вони одноразово виконують заданий набір операцій для чисельного визначення рішення - значення y(i+1) шуканої функції y(Х) в кінцевій точці відрізка xi+1 і її похідної fi+1. Це дозволяє за відомою продуктивності обчислювального пристрою заздалегідь оцінювати час рахунку алгоритму, що суттєво для систем, що працюють в реальному часі.

Однак в тих випадках, коли необхідно гарантовано досягти заздалегідь заданій точності інтегрування e на кожному кроці рішення (а не тієї, яка гарантується апріорної оцінкою) за відсутності обмеження на повне час розв'язання задачі Коші, можна використовувати ітераційні варіанти методів прогнозу і корекції. У них одноразове початкове пророкування y(i+1) 0 значення шуканої функції y(Х) в кінцевій точці xi+1 поточного відрізка [xi, xi+1] Проводиться за тим же ПРЕДИКТОРИ, що і в звичайному методі. Потім отримане наближення уточнюється неодноразово, а багаторазово ітераційним способом з отриманням послідовності наближених рішень {y(i+1)р, р= 1, ...} для y(i+1). Розрахунок проводиться до тих пір, поки зміна обчислюваних значень функції y(i+1)р не стане менше, ніж заздалегідь задана гранична величина e: iy(i+1)р - y(i+1) (р-1)i

Розглянемо застосування ітераційного методу прогнозу і корекції на основі найпростішого методу Хойна рішення неявного рівняння методу Ейлера (12.9). Як і раніше, шукається рішення задачі Коші на відрізку [а, b] (12.2): у'= f(x,y), y(а) = y0. Припустимо, після i кроків знайдені значення шуканої функції {у1, у2, ... уi } В вузлових точках {х1, х2, ... хi } І потрібно знайти чергове значення шуканої функції уi+1в вузлі хi+1.

Алгоритм рішення ОДУ першого порядку на частковому відрізку по ітераційного варіанту методу Хойна.

I. р = 0. Передбачення (прогноз) значення функції f(x,y) На правому кінці кроку вузлі хi+1 виконується за методом лівих прямокутників: y(i+1) 0 = yi + fi · h.

II. Ітераційне уточнення початкового значення.

1. р: = р +1.

2. Розрахунок похідної в вузлі хi+1 підстановкою y(i+1) (р-1) в вихідне рівняння:

f (i+1)р = f (хi+1, y(i+1) (р-1)).

3. Уточнюючий розрахунок чергового значення y(i+1)р для шуканої функції за методом трапецій:

y(i +1)р = yi + (fi + f (i +1)р) / 2.

4. Перевірка точності отриманого наближення:

| y(i+1)р - y(i+1) (р-1)| = | f (i+1)р- f (i+1) (р-1)| > E.

Якщо умова виконана (приріст значення yi+1 досить велике), то переходимо на Крок 1 і продовжуємо ітерації. Інакше (точність e досягнута), приймаємо: yi+1 = y(i+1)р, fi+1 = f(i+1)р і переходимо до вирішення рівняння на наступному частковому відрізку.

Викладений метод є однокроковим, для нього не потрібно попередній розрахунок початкових точок. В даному методі шляхом об'єднання кроків 2 і 3 розрахункову схему можна представити у вигляді схеми простої ітерації:

y(i +1)р = yi + (fi + f (хi +1, y(i +1) (р-1))) / 2.

Очевидно, при її практичної реалізації виникає проблема збіжності. При її відсутності можна застосовувати і інші ітераційні методи рішення нелінійних рівнянь.

Аналогічно методу Хойна можуть бути побудовані ітераційні варіанти і для інших неявних методів рішення ОДУ першого порядку.

Головна перевага ітераційних методів полягає в тому, що при наявності збіжності вони дозволяють отримати високу гарантовану точність рішення при простий розрахункової схемою методу. При цьому необхідно враховувати, що при малих значеннях e в сумарної похибки методу буде зростати частка похибки, що вноситься округленнями.

Питання для перевірки знань.

1. Яку групу чисельних методів називають методами прогнозу і корекції (предсказивающе-виправляють або схемами "предиктор-коректор") і які два основних дії вони містять?

2. У чому полягає найбільш простий спосіб побудови методів прогнозу і корекції?

3. Які найбільш уживані методи прогнозу і корекції на основі методів Адамса застосовують при вирішенні ОДУ першого порядку?

4. Який підхід побудові розрахункових схем в методах прогнозу і корекції альтернативним до застосування методів Адамса, які найбільш уживані методи прогнозу і корекції даного виду?

5. У чому полягають переваги і недоліки методів вирішення неявних рівнянь з одноразовим уточненням?

6. Яким чином реалізуються ітераційні варіанти методів прогнозу і корекції, в чому полягають їхні переваги і недоліки?


 



 Однокрокові і багатокрокові методи інтегрування ОДУ першого порядку. методи Адамса |  Чисельні методи розв'язання систем ОДУ першого порядку

 Загальні поняття теорії ОДУ. Їх чисельні рішення |  Чисельні методи розв'язання задачі Коші для ОДУ першого порядку. методи Ейлера |  Методи Рунге - Кутта рішення задачі Коші для ОДУ першого порядку |  Класичний метод Рунге - Кутта 4 порядку |  Чисельні методи рішення ОДУ і систем ОДУ високих порядків |  Метод кінцевих різниць рішення крайових задач для ОДУ |  Апроксимація похідних. |  Контрольне завдання. Лабораторна робота 5. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати