Головна

Чисельні методи розв'язання задачі Коші для ОДУ першого порядку. методи Ейлера

  1.  CТРОЕНІЕ атома. МЕТОДИКА РІШЕННЯ ТИПОВИХ ЗАВДАНЬ
  2.  D) РЕКОНСТРУКЦІЯ ТА ІНТЕГРАЦІЯ ЯК ЗАВДАННЯ герменевтики
  3.  Gt; Функції та методи інноваційного менеджменту> Прогнозування в інноваційному менеджменті
  4.  I. Завдання КУТВ щодо радянських республік Сходу
  5.  I. Історична наука і її завдання
  6.  I. Якісні методи системного аналізу.
  7.  I. Освіта Конституційної Комісії та її завдання

Диференціальним рівнянням першого порядку називають рівняння виду:

F(x,y,у') = 0 або у'=f(x,y). (12.4)

У першому випадку заданий загальним вид ОДУ першого порядку, в другому воно представлено у вигляді, дозволеному відносно старшої похідної.

Так як при n = 1 додаткова умова єдине, то воно задається в одній точці і завдання пошуку єдиного рішення формулюється у вигляді завдання Коші. Розглянемо другий варіант постановки задачі (12.4) при рівнянні, дозволеному відносно старшої похідної.

Постановка задачі. Знайти чисельне рішення ОДУ першого порядку

у'= f(x,y) (12.5)

на відрізку [а, b] При додатковому умови: y(а) =y0.

Як чисельного рішення приймаємо табличное завдання шуканої функції y(x) На рівномірній сітці на відрізку [а, b] З постійним кроком h = (a-b)/n, в якій:

n - Число приватних відрізків,

вузли сітки: i = 0,1, ..., N-1, a = x0 < x1 <... < b = xn, xi = a + i ? h;

крок розбиття постійний: h= (b-a) /n.

В результаті рішення повинна бути побудована таблиця

xi x0 x1 ... xn
yi y0 y1 ... yn

т. е. шукаються наближені значення функції y(xi) В вузлах сітки xi.

Помноживши обидві частини на dx і інтегруючи обидві частини рівняння (12.5) на приватному відрізку [хi, хi+1], Отримаємо

 (12.6)

Основна проблема рішення (12.6) полягає в тому, що в правій частині його варто інтеграл від неявної функції по х и у(х). Чисельні методи рішення ОДУ (12.5) розрізняються способом наближеного розрахунку цього інтеграла - його аппроксимацией.

Найпростішим варіантом чисельного рішення отриманого співвідношення (12.6) є чисельне інтегрування правої частини за допомогою формули лівих прямокутників:

 (12.7)

яке дасть при підстановці в (12.3) явну формулу Ейлера:

уi +1 = уi + h ? f(хi, yi), i = 0,1, ..., N-1. (12.8)

Порядок розрахунків при чисельному рішенні:

1) знаючи х0, y0, f(х0, y0), Знаходимо у1 = у0 + h ? f(х0, y0), Потім

2) у2 = у1 + h ? f(х1, y1) і т.д.

Геометрична інтерпретація методу Ейлера(Ріс.12.1). Користуючись тим, що в точці x0 відоме рішення y(x0) = y0 і значення його похідної y ? (x0) = f(х0, y0), Можна записати рівняння дотичної до графіка шуканої функції y = y(x) В точці (х0, y0): y = y0 + f(х0, y0) ( х - х0). При досить малому кроці h ордината y1 = y0 + f(х0, y0) ( х - х0) Цієї дотичної, отримана підстановкою в праву частину значення х1 = х0 + h , Повинна мало відрізнятися від ординати y(x1) Точного рішення y(x) Задачі Коші. Отже, точка (х1, y1) Перетину дотичній з прямою x = x1 може бути наближено прийнята за нову початкову точку. Через цю точку знову проведемо пряму y = y1 + f(х1, y1) ( х - х1), Яка наближено відображає поведінку дотичній до y = y(x) В точці (х1, y1). підставляючи сюди х2 = х1 + h (Т. Е. Перетин з прямою x = x2), Отримаємо наближене значення y(x) В точці x2: у2 = у1 + h ? f(х1, y1) і т.д.

Ріс.12.1. Геометрична інтерпретація методу Ейлера

Явний метод Ейлера має перший порядок точності (О(h1)), Т. Е. Із зменшенням h в 10 разів точність результату підвищується теж в 10 разів.

Застосування при інтегруванні правій частині рівняння (12.6) формули правих прямокутників:

призводить до методу

уi+1 = уi + h ? f(хi+1, yi+1), i = 0,1, ..., N-1. (12.9)

Цей метод називають неявним методом Ейлера, Оскільки для обчислення невідомого значення уi+1 = у(хi+1) За відомим значенням уi » у(хi) Потрібно вирішувати рівняння, в загальному випадку досить складне, нелінійне.

Неявний метод Ейлера має також перший порядок точності - О(h1).

Питання для перевірки знань.

1. Які рівняння називають звичайними диференціальними (ОДУ), що називають порядком ОДУ?

2. Яку форму подання ОДУ називають рівнянням, дозволеним щодо старшої похідної?

3. Які функції називають загальними рішенням ОДУ?

4. Який вид мають спільні рішення ОДУ і яким чином можна отримати на їх основі приватне рішення ОДУ?

5. Що називають точним (аналітичним) рішенням ОДУ?

6. У чому полягає чисельну приватне рішення ОДУ?

7. Які існують на основі ОДУ два типи завдань, які передбачають отримання єдиного рішення ОДУ?

8. Яке завдання називають завданням Коші і що називають в ній початковими умовами?

9. Яке завдання називають крайової і що називають в ній крайовими або граничними умовами?

10. Які рівняння називаютдіфференціальнимі рівняннями першого порядку, скільки для них задається додаткових умов?

11. У якій формі визначається чисельного рішення диференціального рівняння першого порядку?

12. Яким чином виводять явну формулу Ейлера рішення диференціального рівняння першого порядку?

13. У чому полягає геометрична інтерпретація явного методу Ейлера?

14. Який порядок точності має явний метод Ейлера?

15. Що називають неявній формулою Ейлера рішення диференціального рівняння першого порядку, в чому її основний недолік?



 Загальні поняття теорії ОДУ. Їх чисельні рішення |  Методи Рунге - Кутта рішення задачі Коші для ОДУ першого порядку

 Класичний метод Рунге - Кутта 4 порядку |  Однокрокові і багатокрокові методи інтегрування ОДУ першого порядку. методи Адамса |  Методи прогнозу і корекції |  Чисельні методи розв'язання систем ОДУ першого порядку |  Чисельні методи рішення ОДУ і систем ОДУ високих порядків |  Метод кінцевих різниць рішення крайових задач для ОДУ |  Апроксимація похідних. |  Контрольне завдання. Лабораторна робота 5. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати