На головну

Закон Біо-Савара. Теорема про циркуляцію

  1.  Amp; 6. Співвідношення сімейного та цивільного законодавства в регулюванні сімейних відносин.
  2.  I. ЗАКОНОДАВЧІ та інші основоположні
  3.  II. теорема Декарта
  4.  V. ДВА ОСНОВНИХ ЗАКОНУ
  5.  XIX СТОЛІТТЯ: БУМ пошук скарбів І ЗАКОН
  6.  XXXI. ПОСЛЕЗАКОНІЕ
  7.  А) явищ одного виду, відмінних один від одного за своїми характеристиками, але об'єднаних загальною якістю і розвитком за єдиними законами

Магнітне поле постійних струмів різної конфігурації вивчалося експериментально французькими вченими Ж. Біо і Ф. Саварен (1820 г.). Вони прийшли до висновку, що індукція магнітного поля струмів, поточних по провіднику, визначається спільною дією всіх окремих ділянок провідника. Магнітне поле підкоряється принципу суперпозиції:

Якщо магнітне поле створюється декількома провідниками з струмом, то індукція результуючого поля є векторна сума індукції полів, створюваних кожним провідником окремо.

індукцію  провідника з струмом можна уявити як векторну суму елементарних індукції  створюваних окремими ділянками провідника. На досвіді неможливо виділити окрему ділянку провідника зі струмом, так як постійні струми завжди замкнені. Можна виміряти тільки сумарну індукцію магнітного поля, що створюється всіма елементами струму. Закон Біо-Савара визначає внесок  в магнітну індукцію  результуючого магнітного поля, що створюється малим ділянкою ?l провідника зі струмом I.

Тут r - відстань від даної ділянки ?l до точки спостереження, ? - кут між напрямком на точку спостереження і напрямком струму на даній ділянці, ?0 - Магнітна постійна. напрямок вектора  визначається правилом свердлика: воно збігається з напрямком обертання рукоятки свердлика при його поступальному переміщенні уздовж струму. Мал. 1.17.1 ілюструє закон Біо-Савара на прикладі магнітного поля прямолінійного провідника зі струмом. Якщо підсумувати (проинтегрировать) вклади в магнітне поле всіх окремих ділянок прямолінійного провідника зі струмом, то вийде формула для магнітної індукції поля прямого струму:

яка вже наводилася в § 1.16.

 Малюнок 1.17.1.Іллюстрація закону Біо-Савара

Закон Біо-Савара дозволяє розраховувати магнітні поля струмів різних конфігурацій. Неважко, наприклад, виконати розрахунок магнітного поля в центрі кругового витка зі струмом. Цей розрахунок приводить до формули

де R - радіус кругового провідника. Для визначення напрямку вектора  також можна використовувати правило гвинта, тільки тепер його рукоятку потрібно обертати в напрямку кругового струму, а поступальний переміщення гвинта покаже напрямок вектора магнітної індукції.

Розрахунки магнітного поля часто спрощуються при обліку симетрії в конфігурації струмів, що створюють поле. В цьому випадку можна пользаовалось теоремою про циркуляцію вектора магнітної індукції, яка в теорії магнітного поля струмів грає ту ж роль, що і теорема Гаусса в електростатики.

Пояснимо поняття циркуляції вектора  Нехай в просторі, де створено магнітне поле, обраний деякий умовний замкнутий контур (не обов'язково плоский) і зазначено позитивний напрямок його обходу. На кожному окремому малому ділянці ?l цього контуру можна визначити дотичну складову  вектора  в даному місці, тобто визначити проекцію вектора  на напрям дотичній до даної ділянки контуру (рис. 1.17.2).

 Малюнок 1.17.2.Замкнутий контур (L) з заданим напрямом обходу. Зображені струми I1, I2 і I3, Що створюють магнітне поле

циркуляцією вектора  називають суму творів  ?l, взяту по всьому контуру L:

Деякі струми, що створюють магнітне поле, можуть пронизувати обраний контур L в той час, як інші струми можуть перебувати в стороні від контуру.

Теорема про циркуляцію стверджує, що циркуляція вектора  магнітного поля постійних струмів з будь-якого контуру L завжди дорівнює добутку магнітної постійної ?0 на суму всіх струмів, які пронизують контур:

Як приклад на рис. 1.17.2 зображені кілька провідників зі струмами, що створюють магнітне поле. Токи I2 і I3 пронизують контур L в протилежних напрямках, їм повинні бути приписані різні знаки - позитивними вважаються струми, які пов'язані з обраним напрямом обходу контуру правилом правого гвинта (свердлика). Отже, I3 > 0, а I2 <0. Струм I1 НЕ пронизує контур L.

Теорема про циркуляцію в даному прикладі виражається співвідношенням:

Теорема про циркуляцію в загальному вигляді випливає з закону Біо-Савара і принципу суперпозиції.

Найпростішим прикладом застосування теореми про циркуляцію є висновок формули для магнітної індукції поля прямолінійного провідника зі струмом. З огляду на симетрію в даній задачі, контур L доцільно вибрати у вигляді кола деякого радіуса R, що лежить в перпендикулярній провідникові площині. Центр кола знаходиться в деякій точці провідника. В силу симетрії вектор  спрямований по дотичній  , А його модуль однаковий у всіх точках кола. Застосування теореми про циркуляцію приводить до співвідношення:

звідки випливає формула для модуля магнітної індукції поля прямолінійного провідника зі струмом, наведена раніше.

Цей приклад показує, що теорема про циркуляцію вектора магнітної індукції  може бути використана для розрахунку магнітних полів, створюваних симетричним розподілом струмів, коли з міркувань симетрії можна «вгадати» загальну структуру поля.

Є чимало практично важливих прикладів розрахунку магнітних полів за допомогою теореми про циркуляцію. Одним з таких прикладів є завдання обчислення поля тороидальной котушки (рис. 1.17.3).

 Малюнок 1.17.3.Прімененіе теореми про циркуляцію до тороидальной котушці

Передбачається, що котушка щільно, тобто виток до витка, намотана на немагнітний тороидальний сердечник. У такій котушці лінії магнітної індукції замикаються всередині котушки і являють собою концентричні кола. Вони спрямовані так, що дивлячись вздовж них, ми побачили б ток в витках, що циркулює за годинниковою стрілкою. Одна з ліній індукції деякого радіуса r1 ? r 2 зображена на рис. 1.17.3. Застосуємо теорему про циркуляцію до контуру L у вигляді кола, що збігається із зображеною на рис. 1.17.3 лінією індукції магнітного поля. З міркувань симетрії ясно, що модуль вектора  однаковий вздовж всієї цієї лінії. За теоремою про циркуляцію можна записати:

 B • 2?r = ?0IN,

де N - повне число витків, а I - струм, поточний по витків котушки. отже,

Таким чином, модуль вектора магнітної індукції в тороидальной котушці залежить від радіуса r. Якщо сердечник котушки тонкий, тобто r2 - r1 << R, то магнітне поле всередині котушки практично однорідно. Величина n = N / 2?r є число витків на одиницю довжини котушки. В цьому випадку

 B = ? 0I n.

В цей вислів не входить радіус тора, тому воно справедливо і в граничному випадку r > ?. Але в межі кожну частину тороидальной котушки можна розглядати як довгу прямолінійну котушку. Такі котушки називають соленоїдами. Далеко від торців соленоїда модуль магнітної індукції виражається тим же співвідношенням, що і в разі тороидальной котушки.

На рис. 1.17.4 зображено магнітне поле котушки кінцевої довжини. Слід звернути увагу на те, що в центральній частині котушки магнітне поле практично однорідно і значно сильніше, ніж поза котушки. На це вказує густота ліній магнітної індукції. У граничному випадку нескінченно довгого соленоїда однорідне магнітне поле цілком зосереджено всередині нього.

 Малюнок 1.17.4.Магнітное поле котушки кінцевої довжини. У центрі соленоїда магнітне поле практично однорідно і значно перевищує по модулю поле поза котушки

У разі нескінченно довгого соленоїда вираз для модуля магнітної індукції можна отримати безпосередньо за допомогою теореми про циркуляцію, застосувавши її до прямокутного контуру, показаному на рис. 1.17.5.

 Малюнок 1.17.5.Прімененіе теореми про циркуляцію до розрахунку магнітного поля нескінченно довгого соленоїда

Вектор магнітної індукції має відмінну від нуля проекцію на напрям обходу контуру abcd тільки на стороні ab. Отже, циркуляція вектора  по контуру дорівнює Bl, де l - довжина сторони ab. Число витків соленоїда, які пронизують контур abcd, так само n · l, де n - число витків на одиницю довжини соленоїда, а повний струм, що пронизує контур, дорівнює I n l. Згідно з теоремою про циркуляцію,

 B l = ?0I n l,

звідки

 B = ?0 I n.

Цей вислів збігається з отриманою раніше формулою для магнітного поля тонкої тороидальной котушки



 Магнітне поле в речовині |  Електромагнітна індукція. правило Ленца

 Електроємність. конденсатори |  Енергія електричного поля |  Провідники і діелектрики в електричному полі |  Електричний струм. Закон Ома |  Електричний струм в металах |  Послідовне і паралельне з'єднання провідників |  Правила Кірхгофа для розгалужених ланцюгів |  Робота і потужність струму |  Магнітна взаємодія струмів |  сила Лоренца |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати