На головну

Означення

  1. Дайте означення біосенсору. Сенсори на основі біоспорідненості та метаболізму. Перші біосенсори на глюкозу та сечовину.
  2. Змінні величини та їх позначення
  3. Інтуїтивне означення границі
  4. Означення
  5. Означення
  6. Означення

Опір резистора у колі постійного струму визначається із закону Ома


R = U


I . Для змінного


струму поняття опору ускладнюється внаслідок наявності в колі реактивних елементів. Нехай


миттєве значення напруги на елементі описується формулою


u(t ) = U 0cos(ω t + ϕu )


( U 0 - амплітуда,


ϕu - початкова фаза), а миттєвого струму


i(t )= I0cos(ωt + ϕi )


( I0 - амплітуда струму,


ϕi -


початкова фаза струму). При наявності в колі хоча б одного реактивного елемента фази напруги та


струму є різними, тобто відношення


u(t) i(t)


залежить од часу і тому не може слугувати в якості


параметра елемента чи взагалі реактивного кола. У зв'язку з цим опір елемента змінного струму визначається як відношення амплітудного або ефективного значення напруги до відповідного значення сили струму, оскільки цей результат не залежить від часу. Позначивши опір змінному струмові буквою Z, маємо


U

Z = 0 =

I 0


U еф

I еф


. (14.2.1)


Опір ідеального конденсатора

На рис. 14.2.1конденсатор ємності С приєднано до джерела змінної напруги

u(t)= U0cos(ωt+ ϕu ). Струм у колі

i(t)= dq = C du ,


тобто


dt dt


i(t ) = −ω CU 0 sin(ω t + ϕu ) = − I0sin(ω t + ϕu ) . (14.2.2)


Позначивши опір конденсатора


xC , отримуємо


C
x = U0 = 1

I0 ωC


. (14.2.3)


Зсув фаз між напругою та струмом


ϕ = ϕu − ϕi


знайдемо, виразивши формулу для сили струму як


функцію косинуса. Порівнюючи з (14.2.2), отримуємо

ϕ = − π . (14.2.4)

C 2

Фаза напруги на конденсаторі відстає від фази струму на чверть періоду.

di
Рис. 14.2.1. Реактивні елементи.

Опір ідеальної котушки індуктивності

Ідеальну котушку індуктивності L (R,C= 0), рис.14.2.1.б, приєднаємо до джерела

синусоїдального струму. Рівняння для контуру


звідки


U 0cos(ωt + ϕu )− L

dt

U


= 0 , (14.2.5)

⎛ π ⎞


i(t)= 0 sin(ωt + ϕu )= I0cos⎜ωt + ϕu +


⎟ . (14.2.6)


ωL

Індуктивний опір дорівнює


⎝ 2 ⎠


xL = ωL , (14.2.7)

а зсув фаз між напругою та струмом


ϕ = π . (14.2.8)

Фаза струму в котушці індуктивності відстає від фази напруги на чверть періоду.

Послідовний коливний контур

Послідовний коливний контур складається із котушки індуктивності, конденсатора та резистора, з'єднаних послідовно, рис. 14.2.2. Рівняння Кірхгофа для контуру має вигляд


U cos(ωt+ ϕ


)− L di = u


+ Ri .


0 u dt C

Рис. 14.2.2. Послідовний коливний контур.

Врахувавши, що напруга на конденсаторі

u = q = idt,

C C C

отримуємо інтегро-диференціальне рівняння


U cos(ωt + ϕ


)= L di + idt+ Ri , (14.2.9)


0 u dt C

диференціювання якого по часу дає диференціальне рівняння другого порядку


d 2 i i

L +

dt 2 C


+ R di dt


= ωU 0 sin(ωt + ϕu ). (14.2.10)


Розв'язок цього рівняння шукаємо у вигляді

i(t ) = I 0cos(ω t + ϕi ) , (14.2.11)


де амплітуда


I0 та фаза струму ϕi


визначаються після підстановки цього розв'язку в (14.2.10).


Значення цих параметрів ми отримаємо значно простішим способом з використанням методу комплексних змінних (п. 14.4).

14.3. Потужність у колі змінного струму

Потужність у дисипативному колі

Миттєва потужність, яка виділяється на окремому елементі, на окремій вітці, чи у повному нерозгалуженому колі, дорівнює добутку миттєвих значень струму та напруги

p(t)= u(t)⋅i(t). (14.3.1)

Якщо в колі відсутні реактивні елементи, то фази напруги та струму однакові й можна прийняти, що


u = U0 cos ω t


та i = I0 cos ω t, тобто миттєва потужність дорівнює

p(t)= U 0 I0 (1 + cos 2ωt). (14.3.2)



Середню потужність знайдемо згідно з означенням середнього для періодичної функції

P = ∫Tp(t )dt / T , що дає


P = U0 I0 .

Виразимо U 0 та I0 через ефективні значення, які ми надалі позначатимемо U та I, відповідно


(14.3.3)


Отримаємо


U = U0 ; I = I0

2 2


(14.3.4)


P = UI , (14.3.5)

тобто формулу, яка описує потужність стаціонарного струму. Ефективне значення змінної напруги

(струму) - це значення постійної напруги (струму), які створюють еквівалентну теплову дію.

Потужність у реактивному колі

Якщо в колі присутні реактивні елементи, то фази напруги та струму відрізняються. Для


спрощення аналізу запишемо напругу у вигляді


u = U0 cos ω t ,а силу струму


i = I0cos(ωt − ϕ) ,тобто


ϕu − ϕi = ϕ.

отримуємо


Тоді миттєва потужність


p(t)= U0 I0cos(ωt)⋅cos(ωt − ϕ). Розписавши косинус різниці,


p(t)= U 0 I0 cos ϕ⋅(1 + cos 2ωt)+ U 0 I0 sin ϕ×sin 2ωt.


(14.3.6)


2 2

Перший член у правій частині виразу визначає активну, наступний - реактивну миттєву потужність.

Дійсно, другий член відсутній, якщо ϕ = 0 , тобто у колі без реактивних елементів. Крім того, середнє

значення реактивної потужності дорівнює нулеві, що відповідає основній властивості реактивних

елементів. Середня активна потужність для реактивного кола


U I

P = 0 0 cos ϕ =UIcos ϕ


(14.3.7)


включає новий множник


cos ϕ , який називається коефіцієнтом потужності. Якщо до джерела


напруги приєднати лише ідеальний конденсатор чи котушку, то зсув фаз між напругою та струмом

ϕ = ± π 2 , тобто від джерела енергії взагалі не відбирається активна потужність (ідеальний

реактивний елемент). Для нормальної роботи пристроїв, в яких відбувається перетворення енергії

електричного струму в інші види енергії (електродвигуни, електролізери, нагрівальні пристрої та ін.),

необхідно забезпечити такий режим, аби коефіцієнт потужності мав значення якомога ближче до

максимального, тобто ϕ → 0 .

Добротність

Коефіцієнт потужності використовується для характеристики силових електричних пристроїв. Для трансформаторів, радіотехнічних пристроїв (фільтри, підсилювачі тощо) активна потужність є не корисною потужністю, а, навпаки, є потужністю втрат, оскільки згадані пристрої призначаються для ефективної передачі електричної енергії із входу схеми на її вихід. Для цих пристроїв корисною є


реактивна потужність, у зв'язку з чим енергетична характеристика цих елементів визначається іншим параметром - добротністю.

Надалі амплітудне значення миттєвої реактивної потужності в (14.3.6) будемо називати

реактивною потужністю

Pr = UI sin ϕ . (14.3.8)

Відповідно, активна потужність - це величина, рівна амплітудному значенню миттєвої активної

потужності


Pa = UI cos ϕ.


(14.3.9)


Добротність Q окремого елемента чи ділянки кола - це відношення реактивної потужності до потужності активної

Q = Pr . (14.3.10)

Pa

З (14.3.8) та (14.3.9) видно, що добротність можна виразити ще й так:

Q = tg ϕ , (14.3.11)

де, як і раніше, ϕ визначає зсув фази напруги відносно фази струму.

4.4. Метод комплексних амплітуд (символьний метод)

Застосування символьного методу дозволяє значно полегшити аналіз кіл змінного струму, в які входять реактивні елементи. Метод є найбільш ефективним для аналізу гармонічних сигналів.


вираз


Комплексне зображення гармонічних сигналів

Нехай напруга змінюється за гармонічною закономірністю

U = U 0cos(ωt + ϕ)+ jU 0sin(ωt + ϕ)


u = U0 cos(ωt + ϕ). Комплексний

(14.4.1)



називається комплексним зображенням напруги. Тут


j = − 1 -уявна одиниця. Комплексні


зображення величин будуть позначатися заголовними літерами, надрукованими жирним шрифтом.

Вираз (14.4.1), як відомо, можна подати в експоненціальному вигляді

U = U 0exp[ jt + ϕ)], (14.4.2)


а також в алгебраїчному

де


U = a + jb , (14.4.3)

a = U0cos(ωt + ϕ),b = U0sin(ωt + ϕ). (14.4.4)


Утворимо похідну за часом від комплексного зображення в експоненціальній формі. Маємо

dU = jωU .(14.4.5)

dt


Тобто часова похідна від комплексного зображення зводиться до множення його на jω. Обчисливши

інтеграл від комплексного зображення за часом, отримаємо

U


Udt =


. (14.4.6)

jω


Інтегрування комплексного зображення за часом зводиться до ділення підінтегрального виразу на

jω. Таким чином, для комплексних зображень операції вищої математики диференціювання та

інтегрування зводяться до елементарних арифметичних операцій множення та ділення їх на

константу jω, відповідно.

Комплексний опір (імпеданс)

Комплексним опором (імпедансом) називається відношення комплексного зображення напруги до комплексного зображення струму

U(t)

Z = I(t) . (14.4.7)

В останній формулі підкреслено, що для визначення імпедансу можна використовувати миттєві


значення комплексних зображень напруги та струму. Дійсно, якщо напруга


u(t ) = U 0cos(ω t + ϕu ) , а


струм


i(t)= I0cos(ωt + ϕi ), то, записавши комплексні зображення в експоненціальній формі


U =U 0exp[jt + ϕu )] та

часу


I =I 0exp[jt + ϕi )], отримуємо для імпедансу вираз, який не залежить од

Z = U0 exp(jϕ), (14.4.8)

I0


де ϕ - зсув фаз між напругою та струмом

ϕ = ϕu − ϕi . (14.4.9)

Операції додавання та віднімання комплексних чисел, обчислення похідної та інтеграла від

дійсного аргументу належать до лінійних перетворень. Після лінійних перетворень дійсні та уявні частини комплексних чисел не перемішуються, тому для виділення істинного значення величини по виконанню лінійних операцій достатньо відкинути від результату уявну частину. Операції множення та ділення комплексних чисел належать до нелінійних, оскільки дійсні та уявні частини їх при цьому перемішуються. Тому попередній спосіб отримання істинного результату тут не підходить.

Наприклад, із виразу для імпедансу (14.4.9) бачимо, що істинний опір дорівнює модулеві імпедансу

Z = ZZ *= U0 . (14.4.10)

I0

У комплексний опір входить ще один важливий параметр - аргумент комплексного числа, який згідно з (14.4.9) визначає зсув фаз між напругою та струмом. Записавши імпеданс у тригонометричній формі, отримуємо

Z = Z (cos ϕ + jsin ϕ) , (14.4.11)

і в алгебраїчній формі


Z = a + jb . (14.4.12)

В результаті теоретичного аналізу конкретного кола вираз для імпедансу одержують, як правило, в

алгебраїчній формі, тобто

Z = a2 + b2 . (14.4.13)

З (14.4.11) та (14.4.12) видно, що зсув фаз визначається виразом

Im(Z) b

( )
tg ϕ = = = Q . (14.4.14)

Re Z a

Тангенс зсуву фаз між напругою та струмом дорівнює відношенню уявної частини імпедансу до його дійсної частини, тобто описує добротність кола чи його елемента.

Розглянемо декілька простих прикладів знаходження імпедансу.

Імпеданс ідеального конденсатора

З рис. 14.2.1 маємо


uC = q


C . (14.4.15)


Запишемо цю рівність у комплексних змінних

U = Q = Idt. (14.4.16)

C C

Підставою для такого запису є те, що отримане рівняння є по суті лінійною комбінацією двох рівнянь


(14.4.15), в яких фази аргументів відповідних змінних зміщені на


π 2 . Згідно з (14.4.6), маємо



U = I


jωC


й імпеданс конденсатора



x = U =

C I


jωC


= − j

ωC


. (14.4.17)



Модуль його


xC = 1 ωC . Для зсуву фаз, згідно з (14.4.14), отримаємо вираз

tg ϕ = 1 ωC = −∞ ,


тобто ϕ = − π 2 , що збігається з (14.2.4).

Імпеданс ідеальної індуктивності

Запишемо рівняння Кірхгофа (14.2.5) для кола з ідеальної індуктивності, рис. 14.2.1.б, у комплексному вигляді


З цієї формули випливає


U = L dI = jωLI. (14.4.18)

dt


тобто


x = U = jωL , (14.4.19),

L I

x = ωL, ϕ = π ,


L 2


у відповідності з (14.2.7) та (14.2.8).

Імпеданс послідовного коливного контуру

Рівняння Кірхгофа для послідовного коливного контуру (14.2.9) у комплексній формі має вигляд


U = =dI


+ Idt


+ RI= IR + jωL + 1 ⎞ .


Отримуємо імпеданс


dt C


jωC


абсолютне значення якого є


Z = R + jωL +


jωC


. (14.4.20)


Z = R2 + (ωL−1 ω C)2. (14.4.21)

Зсув фаз описується формулою

tgϕ = ωL −1 ωC . (14.4.22)

R

Розглянуті приклади переконують, що використання символьного методу значно полегшує та прискорює аналіз реактивного кола, оскільки диференціальні рівняння, які описують електричні процеси переходять у звичайні алгебраїчні рівняння. З формули (14.4.20) видно, що імпеданс послідовного коливного контуру дорівнює сумі імпедансів елементів кола

Z = R +xL +xC . (14.4.23)

Неважко переконатися, що для визначення імпедансу паралельного коливного контуру, зображеного

на рис. 14.4.1, необхідно додавати величини, обернені до опорів, тобто додавати комплексні провідності


Y = 1 = 1 + 1


+ jωC


(14.4.24)


Z R RL + jωL


тобто


Y = YR + YL + YC


(14.4.25)



Тут RL


Рис. 14.4.1. Паралельний коливний контур.

позначає опір для постійного струму провідника, яким намотана котушка. Таким чином, до


раніше вказаних переваг методу комплексних змінних можна додати ще одну: для комплексних зображень правила Кірхгофа для вузлів та контурів у випадку квазістаціонарних синусоїдальних

струмів записуються так, ніби ми аналізуємо коло стаціонарного струму.


Комплексна потужність

Потужність для квазістаціонарного струму визначається за формулою

Комплексну потужність прийнято визначати як

UI*


P =U 0 I0cos ϕ 2 .


P = . (14.4.26)

U, I - комплексні зображення напруги та струму, описані формулами (14.4.8). Для зображення сили струму використано комплексно спряжений вираз, аби отриманий результат не залежав од часу.

Дійсно


UI*


= U 0 I0 ×exp[jt + ϕ


)]×exp[−jt + ϕ )]= U 0 I0 exp(jϕ)=UIexp(jϕ),


2 2 u i 2

де ϕ = ϕu − ϕi . У тригонометричному зображенні комплексна потужність описується формулою

P = Pa cos ϕ + jPr sin ϕ . (14.4.27)


Тут, як і раніше, Pa


та Pr - активна та реактивна потужність згідно з (14.3.9) та (14.3.8).


Розв'язування рівняння скін-ефекту

Продемонструємо аналітичні можливості символьного методу ще на одному прикладі, розв'язавши рівняння, яке описує явище скін-ефекту (див. п. 5.5). Використаємо рівняння для електричної компоненти електромагнітного поля у провідному середовищі (13.3.12'). В наближенні квазістаціонарного кола струмом зміщення можна знехтувати, тобто

ΔE = μμ σ ∂E . (14.4.28)

0 ∂t

Розглянемо провідник значних розмірів, обмежений площиною, паралельно якій протікає змінний електричний струм, рис. 14.4.2. Для цієї крайової умови рівняння (14.4.28) набуває простого вигляду

E = μμ σ ∂E . (14.4.29)


x2


0 ∂t


Якщо зовнішнє поле


E ззмінюється за гармонічним законом, то результуюче поле


E = E з + E інд , як і


густина струму теж залежатимуть од часу за гармонічним законом. Тому розв'язок рівняння шукаємо у вигляді


де співмножник


E1(x)


E(x,t)= E1(x)exp(jωt),

визначає амплітуду поля, яка для вибраної крайової умови може залежати


лише від координати х. Підставивши цей розв'язок у (14.4.29), отримуємо

2 E


1=


jμμ σωE


, (14.4.30)


x 20 1


Загальний розв'язок рівняння для амплітуди (14.4.30) має вигляд


E1= Aexp(kx) + Bexp(−kx) , де k -


деякий невизначений коефіцієнт. Оскільки в експерименті вихровий струм затухає з віддаленням від поверхні провідника, то розв'язок необхідно подати у вигляді


E1 = E0exp(−kx), (14.4.31)

де E0 = B . Підставивши цей вираз у (14.4.30), отримуємо, що він є його розв'язком за умови


k = jμμ0σω . Подамо корінь уявної одиниці у вигляді


j = a + ib . Піднявши до квадрата та,



прирівнявши дійсні й уявні частини, маємо a = b = 1


2 , тобто



k = (1 + j)

де


μμ0σω = (1 + j)p , (14.4.32)


p = μμ0ωσ . (14.4.33)

Таким чином, розв'язок рівняння, яке описує скін-ефект біля плоскої поверхні провідника, та за умови квазістаціонарності струму має вигляд

E (x, t )= E0exp(−x a )⋅exp[jt px)]. (14.4.34)


Параметр


Рис. 14.4.2. До явища скін-ефекту.



a =1 p =


μμ0σω


(14.4.35)


визначає ефективну глибину проникнення електричного поля вглиб провідника, а множник

E0exp(−x a ) - амплітуду поля, яка затухає з віддаленням від поверхні. За законом Ома розподіл

струму теж описується формулою, аналогічною (14.4.34). Така сама закономірність описує і магнітне

поле, оскільки вхідні рівняння для електричного та магнітного поля (13.3.12) та (13.3.13)

математично еквівалентні.

14.5. Метод векторних діаграм

Перевагою методу векторних діаграм є наочність, а недоліком те, що його результати для складних розгалужених кіл мають лише якісний характер. Метод векторних діаграм ґрунтується на графічному зображенні комплексних чисел на комплексній площині, тобто є, по суті, геометричною інтерпретацією методу комплексних амплітуд.


Обґрунтування методу

Проведемо на площині декартові координатні осі, рис. 14.5.1. Відкладемо на осі абсцис дійсну,


а на осі ординат уявну частину комплексного зображення напруги


U = a + jb . Отримаємо точку з


координатами (a, b), яка однозначно відображає це число на комплексній площині. В полярній

системі координат початковий промінь спрямовується вздовж осі абсцис, від нього відкладається


величина фази


Φ = ω t + ϕ


і проводиться кінцевий промінь, на якому відкладається відрізок


довжиною, рівною модулю комплексного числа. Отриманий вектор U зображає напругу на

комплексній площині з координатами a = U0cos(ωt + ϕ), b = U0sin(ωt + ϕ).

В полярній системі вектор U обертається з кутовою швидкістю ω проти годинникової стрілки,

а істинне значення миттєвої напруги дорівнює його проекції на початковий промінь. Операції

складання комплексних зображень струмів чи напруг відповідає складання відповідних комплексних векторів, рис. 14.5.2, оскільки саме таке правило встановлено для додавання комплексних чисел.

Тобто, якщо u1 = U01cos(ωt+ ϕ1 ), а u2 = U02 cos(ωt+ ϕ2 ), то сумі u = u1 + u2 відповідає проекція вектора

U = U1+ U2на вісь дійсних чисел.

Рис. 14.5.1. До методу векторних діаграм: а) зображення комплексного числа на комплексній площині; б) складання комплексних векторів.

Часто необхідно знати не величину фази миттєвої напруги чи струму, а лише різницю фаз між ними в межах окремого елемента кола чи співвідношення між фазами напруг (струмів) для різних елементів. В такому випадку фаза першого вибраного сигналу приймається рівною нулеві, тобто є початком відліку фаз для інших сигналів.

Векторна діаграма послідовного коливного контуру

Розглянемо застосування методу векторних діаграм для аналізу процесів у послідовному коливному контурі, рис. 14.2.2. У квазістаціонарному наближенні сила струму однакова в усіх


елементах контуру, тому його фазу ωt + ϕi


зручно вибрати за початок відліку, рис. 14.5.3. Опір R не


створює зсуву фаз між напругою та струмом, тобто U R


паралельний до вектора струму. Фаза


напруги на котушці індуктивності випереджає на π 2


фазу струму, тобто U L


відкладеться у


додатному напрямку осі ординат. Фаза напруги на конденсаторі, навпаки, відстає від фази струму на


таку ж величину, тому U C


зображається вектором, спрямованим униз. Сума комплексних векторів



U = UR + UC + UL


(14.5.1)


описує комплексну напругу на затискачах коливного контуру. З урахуванням антипаралельності


векторів U L


та U C


абсолютне значення напруги є



R
L
U = U 2 + (U


U C


)2.


Рис. 14.5.2. Векторна діаграма послідовного коливного контуру.

Застосувавши закон Ома, отримуємо


U = I


R2 + (ωL−1 ωC)2 = IZ ,


що збігається з (14.4.21). Зсув фаз між напругою та струмом визначається кутом ϕ між векторами U

та I, тобто tg ϕ = (ωL−1 ωC) R , див. (14.4.22).

Рис. 14.5.3. Фазообертач: а) принципова схема ; б) векторна діаграма.

Фазообертач

Фазообертач це - пристрій, який дозволяє плавно змінювати різницю фаз між вихідною та вхідною напругою, причому амплітуда вихідної напруги залишається незмінною. Схему мостового

фазообертача наведено на рис. 14.5.4. Нижню частину моста складають два резистори з однаковими


опорами


R1 , на верхній вітці знаходиться конденсатор С та змінний резистор R. Джерело вхідної


напруги U1


приєднано до горизонтальної діагоналі моста, вихідна напруга U 2


знімається з


вертикальної діагоналі.


Проаналізуємо роботу схеми за допомогою методу векторних діаграм, рис. 14.5.5. Вхідна


напруга порівну ділиться на резисторах


R1 . Ця ж напруга припадає на верхню частину моста,


причому фаза напруги U C


на конденсаторі відстає від фази напруги на опорі R на величину α = π 2 .


Зі зміною опору R змінюється зсув фаз між вихідною та вхідною напругою при незмінній амплітуді вихідної напруги, яка завжди удвічі менша від амплітуди вхідної напруги.

14.6. Елементи теорії двополюсників

Еквівалентна схема

Якщо необхідно аналізувати лише окрему ділянку електричного кола, то решту кола зручно замінити деякою еквівалентною схемою (схема заміщення). Еквівалентними називаються такі перетворення, коли частина кола заміщається іншою схемою за умови, що потенціали та струми на зовнішніх затискачах нової схеми залишились незмінними. Для спрощення аналізу еквівалентну схему конструюють із мінімально можливого числа елементів. Це спрощення, власне, є основною функцією еквівалентної схеми . З цією ж метою в еквівалентну схему включають ідеальні елементи, тобто такі, що характеризуються лише основними параметрами. В разі необхідності паразитні параметри

реальних елементів зображаються у вигляді окремих ідеальних елементів.

Рис. 14.6.1. Еквівалентна схема пасивного двополюсника.

 



Вольтамперна характеристика (ВАХ) елемента | Пасивний двополюсник

Природа феромагнетизму | Антиферомагнетики | В) ферити. | Критична температура | Критичний струм | Ефекти Джозефсона | Глава 13 | E, D, B, H, j | Утворення стоячих хвиль | Елементи електричного кола |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати