На головну

Елементи комбінаторики.

  1.  Elements - електротехнічні елементи
  2.  I. Елементи комбінаторики
  3.  На початку ХХ ст. в Росії з'явилися елементи конституційної монархії;
  4.  У чому проявляються елементи державності в праві Європейського Союзу?
  5.  В) Символи як змістовні елементи фундаментального знання
  6.  Введення в математичний аналіз. Елементи функціонального аналізу
  7.  Вступна ПОНЯТТЯ І ВИЗНАЧЕННЯ. ЕЛЕМЕНТИ

ВИЗНАЧЕННЯ ІМОВІРНОСТІ ПОДІЇ

До основних понять комбінаторики належать розміщення, перестановки, поєднання.

Визначення. Розміщеннями з n елементів по m називають такі їх з'єднання, які відрізняються один від одного самими елементами або їх порядком.

Число всіх розміщень з n елементів по m обчислюється за формулою:

.

Визначення. Перестановками з n елементів називаються їх сполуки, що відрізняються один від одного тільки порядком входять до них елементів.

Число всіх перестановок з n різних елементів одно:

.

Визначення. Поєднаннями з n елементів по m називаються їх сполуки, що розрізняються один від одного тільки самими елементами.

Число сполучень з n різних елементів по m обчислюється за формулою:

.

Також є прості формули:

Завдання. Скількома різними способами збори з 40 чоловік може вибрати з-поміж себе голову зборів і секретаря?

Рішення. Число різних способів дорівнює числу всіляких розміщень з 40 по 2:

Завдання. Скільки п'ятизначних чисел можна записати за допомогою цифр 1,2,3,4,5, якщо кожна цифра входить в зображення числа тільки один раз?

Рішення. Число п'ятизначних чисел, яке можна написати за допомогою цифр 1,2,3,4,5, дорівнює числу всіляких перестановок з п'яти елементів:

Завдання. У колективі з 20 осіб слід вибрати 3 ораторів. Скількома способами це можна зробити?

Рішення. Число різних способів дорівнює числу всіляких сполучень з 20 по 3:

Є 100 однакових за зовнішнім виглядом деталей, серед яких 97 стандартних, а решта браковані. Береться навмання одна деталь. Очевидно, що події А и В, складаються відповідно в тому, що деталь виявиться стандартною і бракованої, що не рівноможливими, подія А найімовірніше, більш імовірно, ніж В.

Визначення. Число, що є вираженням заходи об'єктивної можливості настання події, називається його ймовірністю.

імовірність події А будемо позначати символом Р (А) (Від слова probabilities - ймовірність). Читається: ймовірність події А.

Визначення. Імовірність події А дорівнює відношенню числа випадків т, що сприяють йому, із загального числа п єдино можливих, рівно можливих і несумісних випадків, до числа п, т. Е.

Р (А) = т / п.

Таким чином, для знаходження ймовірності події необхідно, розглянувши різні результати випробування, знайти сукупність єдино можливих, рівно можливих і несумісних випадків, підрахувати загальну кількість їх п і число випадків т, благоприятствующих цієї події, і потім розрахуватися за вказаною формулою.

Приклад. В умовах сформульованого прикладу знайти ймовірність того, що взята навмання деталь виявиться стандартною.

Рішення. Уявімо подумки, що всі деталі пронумеровані. Тоді має бути ясно, що при взятті однієї деталі можливі 100 різних подій (випадків), які, як неважко бачити, є єдино можливими, рівно можливими і несумісними. Поява будь-якої з 97 стандартних деталей означатиме здійснення події А, або, як прийнято говорити, події А сприяють 97 із загального числа 100 випадків. Отже, ймовірність події А дорівнює:

Р (А) = 97/100 = 0,97.

Розглянемо теореми про властивості ймовірності події, що випливають з її визначення.

Теорема. Імовірність будь-якої події не може бути негативною і більше одиниці.

Доведення. число випадків т, сприяють будь-якої події, не може бути негативним і більшим, ніж загальна кількість їх п, т. е. . Розподіл нерівностей почленно на п дає  , Або взявши до уваги рівність  , Отримаємо:  , що й потрібно було довести.

Теорема. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці.

Доведення. Властивість очевидно, так як достовірного події повинні сприяти всі п єдино можливих, рівно можливих і несумісних випадків, т. е. т = п.

Теорема. Імовірність неможливого події дорівнює нулю.

Доведення. Неможливого події не може сприяти жоден з п єдино можливих, рівно можливих і несумісних випадків, т. е. т = 0. Звідси випливає сформульоване властивість.

Необхідно чітко розрізняти поняття ймовірності і частості події. Імовірність події обчислюється до дослідів і чисельно виражає міру об'єктивної можливості настання події, а частость його визначається лише після того, як результати досвіду стають відомими.

Приклад. Монета підкинута п'ять разів. Герб випав два рази. Яка ймовірність і частость випадання герба?

Рішення. Вірогідність випадання герба дорівнює 1/2 = 0,5 (з двох можливих результатів при підкиданні монети випадання герба сприяє один), а частость випадання герба дорівнює 2/5 = 0,4 (подія настала два рази в п'яти випробуваннях).

Завдання. Підкидають дві гральні кістки. Знайти ймовірність події В, що складається в тому, що на них в сумі буде 10 очок.

відповідь: 3/36 = 1/12 = 0,083.

Завдання.На кожній з 6 однакових карток написані по одній букві: А, Г, Н, О, Р, И. Яка ймовірність того, що виймаючи по одній чотири картки, отримаємо слово «гори»?

Рішення.Загальна кількість можливих елементарних фіналів випробування дорівнює числу способів, якими можна витягти чотири картки з шести, т. Е. Одно  - Числу розміщень з 6 елементів по 4. Сприяє появі слова «гори» тільки один результат. отже,

Завдання.У басейні міститься 7 лящів і 12 коропів. Яка ймовірність того, що серед п'яти спійманих риб дві виявляться лящами?

Рішення. Всіляких результатів може бути стільки, скільки можна скласти сполучень з 19 риб по 5, т. Е.  При підрахунку сприятливих результатів треба врахувати, що кожна пара лящів може поєднуватися з кожної трійкою коропів. Пар лящів може бути стільки, скільки можна скласти сполучень з 7 елементів по 2, а трійок коропів стільки, скільки можна скласти сполучень з 12 елементів по 3. Тоді:  Тоді шукана ймовірність дорівнює:

Завдання.У партії з N виробів M бракованих. Їх партії вибирається навмання n виробів. Визначити ймовірність того, що серед цих n виробів буде рівно m бракованих.

Рішення: Загальна кількість разі, очевидно, так само n =  , Число сприятливих випадків: m =  . Звідси ймовірність, що цікавить нас:

Завдання. Серед 50 деталей три нестандартні. Взяті навмання дві деталі. Знайти ймовірність того, що вони нестандартні.

Рішення. Імовірність аналізованого події залежить від того, як проводиться відбір деталей.

Перший спосіб. Встановивши якість навмання взятої деталі, її повертають назад, а після ретельного перемішування беруть наступну. При такому способі відбору загальне число різних результатів випробування дорівнює 50 - 50 = 2500 (першої може виявитися будь-яка з 50 деталей і вона може поєднуватися з будь-якої з тих же 50 деталей при відборі другий деталі), які і є єдино можливими, рівно можливими і несумісними. З них події А, що складається в тому, що обидві деталі будуть нестандартними, сприяють 3 - 3 = 9 випадків (при відборі першої деталі нестандартна може з'явитися в трьох випадках, і кожен цей випадок може поєднуватися з трьома можливостями відбору нестандартної деталі, коли будуть брати другу деталь). Отже, ймовірність Р (А) = 9/2500 = 0,0036.

Другий спосіб. Узята навмання деталь назад не повертається. При такому способі відбору число різних результатів випробування дорівнює 50 - 49 = 2450 (будь-яка з 50 деталей, яка буде взята першої, може поєднуватися з будь-якої з інших 49 деталей при відборі другий), які і є єдино можливими, рівно можливими і несумісними. З них події В, що полягає в тому, що обидві деталі виявляться нестандартними, сприяють тільки 3 - 2 = 6 випадків. Тому ймовірність його Р (В) = 6/2450 = 0,0024.

Останній приклад наочно показує, що ймовірність події стає певною лише після того, як встановлені умови випробування.

Завдання. Гральний кубик кидається один раз. Знайти ймовірності подій: A = {парне число очок}, B = {не менше 5 очок}, C = {не більше 5 очок}.

відповідь: P (A) = 1/2, P (B) = 1/3, P (C) = 5/6.

Завдання. У ящику з 15 куль 4 білих. Навмання виймається куля, наскільки ймовірним є, що він чорний.

відповідь: P (A) = 11/15.

Завдання. Гральний кубик кидається один раз. Знайти ймовірності подій: A = {парне число очок}, B = {не менше 5 очок}, C = {не більше 5 очок}.

відповідь: P (A) = 1/2, P (B) = 1/3, P (C) = 5/6.

Завдання. В урні а білих і b чорних куль. З урни виймаються дві кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі будуть білими.

Рішення:Позначимо В - подія, що складається в появі двох білих куль. Підрахуємо загальне число можливих випадків n і число m, сприятливих події В:

 Наведене вище визначення ймовірності події отримало назву класичного. Воно дає можливість розглядати лише події, які розпадаються на кінцеве число рівно можливих випадків. Цей недолік класичного визначення ймовірності. Було побудовано поняття ймовірності для випадків з нескінченним безліччю фіналів випробування. У загальному вигляді завдання, яка привела до розширення поняття ймовірності і до іншого визначенню її, можна сформулювати наступним чином.

На площині є область Gі область g в ній.

Площі їх рівні SG і Sg відповідно. В область Gбросается навмання точка. імовірність р того, що точка виявиться в області g, приймається рівною

p = G / g.

При цьому передбачається, що точка може потрапити в будь-яку частину області G, а ймовірність попадання в область gпропорціональна лише її площі і не залежить ні від розташування, ні від її форми. Таке визначення ймовірності отримало назву геометричного.

Завдання. Круглий диск радіуса Rразбіт на два сектори. Довжина дуги одного з них (заштрихованого) дорівнює радіусу R.

За швидко обертається диску зроблено постріл. Знайти ймовірність попадання в цей сектор.

Рішення. Площа заштрихованого сектора Sg= R * R / 2, а площа кола SG=  . Відповідно до формули геометричної ймовірності ймовірність шуканого події р = 0,5 .



 напрями конференції |  умовна ймовірність

 ТЕОРЕМА МНОЖЕННЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ |  властивості призми |  Формули, пов'язані з пірамідою |  Площа повної поверхні |  Площа сегмента сфери |  Теорема 1. |  Зауваження. |  Доведення. |  Екстремум функцій однієї змінної. |  Доведення. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати