На головну

Кінематика. Декартові координати.

  1.  II класти? жази? важіль механізмдерді? графоаналітікали? кінематікаси.
  2.  Векторний спосіб завдання руху точки.
  3.  Векторний спосіб завдання руху точки.
  4.  Векторний спосіб завдання руху точки. Траєкторія точки. Вектори швидкості і прискорення точки.
  5.  Питання 10. Координатний спосіб завдання руху точки.
  6.  Питання 11. Природний спосіб завдання руху точки.
  7.  Питання 14. Плоске рух точки.

З нерухомою системою відліку пов'язуємо Декартових ортогональную систему координат (праву, рис. 31).

Рис.31.

Крапка  , де

 - Параметричні рівняння траєкторії.

де - одиничні вектори (орти),

 - Безперервні і 2 рази діфференцируєми; 2-е похідні - безперервні.

Безперервна послідовність точок середовища (простору), яку займає точкою M, називається траєкторією точки М.

Виключаючи час:

або:

Введемо поняття швидкості і прискорення:

 Рис.32.

т. М t

т. М '  t + t

(  t - кінцеве).

Радіуси - вектори: t

t + t +

=

За час  t (рис. 32):

 (Напрям по січної MM ').

Швидкість точки в момент часу t виходить при t  0, тобто

 (Напрям по дотичній і траєкторії точки)

очевидно:

проекції :

.

Модуль (довжина):

Швидкість точки М в момент часу t дорівнює похідній за часом від радіуса - вектора точки і спрямована по дотичній до траєкторії.

Аналогічно знайдемо прискорення (рис. 33).

Рис.33.


Поєднуючи початок векторів  (T) і  (T +  t) в точці М =>  за  t.

Середнє прискорення:

 (Напрямок в сторону угнутості траєкторії)

Прискорення точки в момент часу t виходить при t  0, тобто

очевидно:

Прискорення точки в певний момент часу дорівнює похідній за часом від вектора швидкості, або другою похідною за часом від радіуса - вектора точки в цей момент часу.

У деяких завданнях - використовується похідна більш високих порядків, але тут вони поки не потрібні.

У механіці застосовуються не тільки декартові координати - часто застосовують узагальнені (криволінійні) координати.

Вони бувають зручніше, дозволяють визначити конфігурацію даної системи. Часто їх називають позиційними. Криволінійними вони називаються тому, що лінії уздовж яких змінюється тільки одна координата, зазвичай бувають кривими.

Розглянемо окремий випадок криволінійних координат - полярні координати точки на площині: застосуємо далі до задачі рух точок в центральному силовому полі (рис. 34).

Рис.34.

(X, y) - декартові координати.

(R,  ) - Полярні координати.

кут  => Від Ох проти годинникової стрілки - позитивний напрямок

Формули перетворення:

x = r cos  , Y = r sin  , Де r  0; 0  <2

(Можна розглядати і  ).

Якщо r = const - концентричні кола з центром в точці О.

якщо  = Const - прямолінійні промені з точки О.

Введемо два орта:

знайдемо похідні  по куту (Рис. 35):

Рис.35.

 (Так як r = 1)

 при ,

т. е. .

далі:

 при ,

т. е. .

При кожному диференціюванні по ? т. Е. Відбувається поворот на кут .

Виведемо формули проекції швидкості і прискорення точки М на напрямки дотичних до координатним лініях в полярних координатах.

Так як  , то

але:

очевидно:

Для прискорення:

.

але: .

очевидно:

Контрольні питання:

1. Що вивчає кінематика?

2. Дайте визначення швидкості точки.

3. Напишіть формули проекцій прискорення на осі полярної системи координат.

 Лекція 9. Природні координати.
 Розглянемо систему координатних осей, яка визначається траєкторією точки (рис.36). Рис.36.  .Едінічний Вектор дотичної до траєкторії (S - довжина дуги М0М):  , де  . диференціюючи  по S:  , де - одиничний вектор головної нормалі;  і спрямований в бік угнутості;  кривизна. (K = 0 - пряма);  - Радіус крівізни.Едінічний вектор бинормали : .  утворюють праву трійку ортогональних одиничних векторів. Вони визначають напрям природних (натуральних) осей в тому місці траєкторії, де знаходиться рухома точка. дотична Очевидно, проекція на вісь :  (Може мати різні знаки - залежить від напрямку S).Для прискорення:  ; але:  ; Очевидно, проекції прискорення на природні осі: на дотичну:  ; На головну нормаль: на бінормаль: 0Такім чином, прискорення лежить в дотичній площині (рис. 37). Мал.37.Завдання.       Контрольні питання:1. Які основні відмінності природної системи координат від декартової? 2. Назвіть проекції швидкості точки в природних коордінатах.3. Яка послідовність визначення радіуса кривизни траєкторії точки?

 


Знайдемо число координат, що визначають положення абсолютно твердого тіла.

Визначити положення тіла => визначити координати  точки відносно деякої системи відліку в  момент часу.

Мал.38.

нехай Х1 , Х2 , Х3 - Нерухомі осі (рис. 38); орт:  [Декартова система].

, ,  - Осі, жорстко пов'язані з тілом; орт: , ,  - [Декартова система].

Так як координати точок щодо власних осей , ,  не залежать від часу, то завдання зводиться до визначення положення координатних осей, жорстко пов'язаних з тілом (рухомих), щодо нерухомих осей Х1 , Х2 , Х3.

Складемо таблицю косинусів кутів між осями Х і :

 - скалярний добуток.

Так як системи координат ортогональні, то

скалярний добуток:  , де

Отже:

Число таких співвідношень = 6 (З 9 - ти в силу симетрії по jі k).

 Маємо 6 співвідношень для 9 косинусів =>

3 косинуса  , Що не розташовані в одному стовпці, або в одному рядку, можуть бути прийняті за незалежні, а інші можемо визначити з складених 6 - ти співвідношень.

Крім того => три координати визначають положення точки О' - Початок системи , , .

Але 9 координат і 3 співвідношення довжин:

Це умови сталості відстаней між точками в абсолютно твердому тілі.

Виведемо формулу Ейлера для розподілу швидкостей точок абсолютно твердого тіла (рис. 39).

,

1) ,

- Швидкість точки О',

- Швидкість точки Q в обертальному русі тіла (так як довжина  постійна).

Так як координати  точки Qпостоянни, то

тоді:

2) ,

де .

Швидкість точки Q: .

3) Висловимо  і похідні через напрямні косинуси :

.

тоді:  (В нерухомій системі).

4) Проекція  на вісь  (K = 1,2,3):

.

Швидкості точок в обертальному русі - лінійні функції координат точок.

5) Отримаємо більш просту і наочну форму закону розподілу швидкостей, використовуючи властивості функції .

,

Диференціюючи по t:

.

По властивості похідною від твору:

при j = k => ,

при j ? k => .

властивості:

а) симетрія по kи j;

б) при j = k => рівність «0»;

в) розмірність t-1 , Т. Е. Кутова швидкість (кут в радіанах), так як - Швидкість.

г) різних тільки три =>

Покажемо, що

дійсно:

 - за аналогією.

Отже:

або:

7)  , де  - Одиничні вектори, жорстко пов'язані з тілом.

покладемо - Вектор, де

8) Тоді:

   -визначає Розподіл швидкостей.

назвемо вектором миттєвої кутової швидкості, А пряма на якій він розташовується, в даний момент часу, що проходить через точку О' - віссю миттєвого обертання, або миттєвої віссю.

Таким чином, закон розподілу швидкостей точок абсолютно твердого тіла в будь-якому русі:

.

Це формула Ейлера в векторної записи.

Контрольні питання:

1. Скільки координат визначають положення твердого тіла в просторі?

2. Що називається вектором миттєвої кутової швидкості?

3. Напишіть формулу Ейлера.


Знайдемо закон розподілу.

Диференціюючи за часом формулу Ейлера:

,

Так як  , то

 =>

подвійний векторний добуток

 - Формула Рівальса для розподілу

прискорень точок абсолютно твердого тіла (рис. 40).

1)  - Прискорення початку рухомої системи.

Так як

2)  - Обертальний прискорення.

3)  - Осестремітельное прискорення.


Рис.40.

Контрольні питання:

1. Яка формула є вихідною при розрахунку розподілу прискорень точок твердого тіла?

2. Як перейти від подвійного векторного твори до скалярним творам?

3. Напишіть формулу Рівалом.

Приватними видами руху абсолютно твердого тіла є поступальний, обертальний і плоскопараллельное.

поступальним рухом абсолютно твердого тіла будемо називати такий рух, при якому відрізок прямої, що з'єднує дві будь-які точки тіла, залишається паралельним нерухомою прямий.

Рис.41.

У поступальному русі всі точки тіла в кожен момент часу має одну і ту ж швидкість і одне і те ж прискорення.

нехай:

тоді:

покладемо:

.

Так як  переміщається паралельно початкового напрямку, то:

тоді:

(Аналогічно з формули Ейлера при )

Очевидно і навпаки, якщо швидкості всіх точок рівні між собою в кожен момент часу, то тіло рухається поступально.

нехай:

 , де  - Вектор постійної довжини і невідомого напрямку відносно нерухомої системи.

До того ж  тіло рухається поступально.

Розглянемо обертання тіла навколо нерухомої осі.

Нехай дві точки А1 і А2 і без листя. Очевидно, що всі точки прямої А1А2 і без листя. Введемо нерухому систему Х1, Х2, Х3: Х3 по А1А2. Положення тіла визначається точками А1, А2, Р, а з трьох координат точки Р тільки одна незалежна, так як є два рівняння зв'язку. Можна взяти кут  (Ріс.42).

Ріс.42.

Пояснимо: введемо рухливу систему  по

Тоді таблиця косинусів:

Розподіл швидкостей:

Розподіл прискорень:

Контрольні питання:

1. Який рух твердого тіла називається поступальним?

2. Скількома параметрами визначається положення тіла при обертанні навколо нерухомої осі?

3. Напишіть формули компонент прискорення в обертальному русі тіла.

плоскопаралельним називається такий рух абсолютно твердого тіла, при якому швидкості всіх його точок паралельні деякій нерухомій площині .

 - Площина (х1, х2) || (y1, y2).

За формулою Ейлера:

Так як  , то

(Кругова перестановка - )

або .

Т. е. Скалярний добуток векторів :

.

В силу довільності координат y1, y2 точки Р =>

.

Отже: вектор миттєвої кутової швидкості розташований на осі .

Зазвичай розглядають плоске перетин тіла ||  - Фігуру S.

Рис.43.

Положення S визначається трьома параметрами:

1) 2 - е координати точки О ',

2)  - Кут повороту жорстко пов'язаних осей (рис. 43).

Для точки Р в площині (  ):

 , де .

Або (поєднавши  з О):

Так як  точка в кожен момент часу, в якій швидкість в цей момент дорівнює нулю.

Нехай це О * (х1 *, х2 *).

Тобто якщо  , то  єдина точка, швидкість якої дорівнює нулю. Віднімаючи (В) з (А) отримаємо:

Якщо помістити початок координат в точку О *, то в цей момент часу розподіл швидкостей точок буде таким же, як в обертальному русі навколо нерухомої осі. Точка О * називається центром миттєвого обертання, або миттєвим центром швидкостей.

приклад: знаходження центру миттєвого обертання, якщо відомо напрямок швидкостей двох точок тіла (рис. 44).

Ріс.44.

Зворотне міркування:

Якщо центр знайдений, то все швидкості спрямовані  радіусу - вектору. Тому (назад) для знаходження центру треба проводити  до швидкостей до перетину.

Приклад: паличка АВ = l ковзає по прямим Ох і Oy.

За формулою Рівальса можна знайти розподіл прискорень, миттєвий центр прискорень, а так же обчислити прискорення центру миттєвого обертання (і швидкість миттєвого центру прискорень).

Контрольні питання:

1. Який рух твердого тіла називається плоскопаралельним?

2. Що таке миттєвий центр швидкостей?

3. Як знайти миттєвий центр швидкостей, якщо відомі швидкості двох точок твердого тіла?

Для опису руху введемо нерухому і рухому системи координат.


Розглянемо рух точки М в рухомій системі відліку , ,  (Рис. 45). Для цього задають:

1)  , де  - Орт рухомий системи.

2) Рух системи  щодо нерухомих осей.

нехай

Знайдемо швидкість точки М в нерухомій системі (дифференцированием):

очевидно:

 - Шукана швидкість;

 - Швидкість початку рухомої системи.


знайдемо  з урахуванням ,

1)

 , де  - Миттєва кутова швидкість обертання рухомої системи відліку за формулою Ейлера

2)  - назвемо відносної похідною

Отже:

якщо  (Т. Е. Немає відносного руху):

Тому:

- відносна швидкість.

переносна швидкість (Нав'язується рухом системи):

Це швидкість того місця, де в даний момент часу знаходиться точка М.

остаточно:

Знайдемо прискорення точки відносно нерухомої системи відліку, якщо задані відносні координати  і рух рухомий системи.

диференціюючи:

:

де  - Прискорення точки О '

тут  - Вектор від точки М до миттєвої осі під прямим кутом (див. Формулу Рівальса)

- відносне прискорення (дорівнює 0, якщо точка М рухається в рухомий системі відліку прямолінійно і рівномірно).

переносний прискорення - Визначається як прискорення того місця в рухомий системі відліку, в якій точка М знаходиться в даний момент часу; обчислюється за формулою Рівальса:

Прискорення Коріоліса:

Половина прискорення Коріоліса отримана при диференціюванні за часом переносний швидкості, а друга половина - при диференціюванні відносної швидкості.

- формула Коріоліса.

де ;

;

Формула Коріоліса дозволяє обчислити абсолютне прискорення точки, якщо її положення визначається координатами щодо рухомої системи відліку.

Контрольні питання:

1. Що називається переносним і відносним рухами?

2. Напишіть формулу швидкості в складному русі точки.

3. З яких частин складається прискорення Коріоліса?

динамікою називається та частина, в якій розглядаються вплив сил на стан руху матеріальних об'єктів.

У цьому розділі в якості моделей реальних тел приймається матеріальна точка



 механічні хвилі |  Закони Ньютона. Правило складання сил.
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати