Головна

Властивості математичного очікування.

  1.  IV. ЗАГАЛЬНІ ВЛАСТИВОСТІ КУЛЬТУР
  2.  V11. Білки і їх біологічні властивості.
  3.  Автономні системи і властивості їх рішень.
  4.  Агрегатні форми загальних індексів і їх властивості
  5.  Аддитивное і однорідні властивості визначеного інтеграла Рімана.
  6.  Алгебраїчні властивості векторного добутку
  7.  Алмази. Їх властивості і застосування. Промислово-генетичні типи родовищ.

Властивість 1: M (C) = C, де C = const . Математичне сподівання постійної величини дорівнює самій постійною.

X С С С  ... С
P P1 P2 P3  ...  Pn

M (C) = С * P1 + З * P2 + ... + С * Pn + = С * (P1 + P2 + ... + Pn ) = С * 1 = С.

визначення: Твором постійної випадкової величини С на випадкову величину Х називають нову випадкову величину, значення якої дорівнюють творам значень випадкової величини на константу (const).

 C * X  З * x1  З * x2  З * x3  ...  З * xn
P P1 P2 P3  ...  Pn

властивість 2: M (C * X) = C * M (X) - постійний множник можна виносити за знак математичного очікування.

визначення: Дві випадкові величини називають незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, які значення приймає інша величина.

визначення: Твором незалежних випадкових величин X і Y називають випадкову величину, можливі значення якої дорівнюють творам кожного можливого значення випадкової величини X на кожне можливе значення величини Y, а ймовірність дорівнює творів ймовірностей можливих значень.

властивість 3: Математичне очікування творинезавісімихслучайних величин дорівнює добутку математичних сподівань.

M (X * Y) = M (X) * M (Y).

Дано закони розподілу ймовірностей двох незалежних випадкових величин:

X x1 x2
P P1 P2
Y y1 y2
P Q1 Q2

Тоді закон розподілу твори:

 X * Y x1* y1 x1* y2 x2 *y1 x2 *y2
P P1* Q1 P1* Q2 P2* Q1 P2* Q2

M (X * Y) = x1* y1* P1* Q1 + x1* y2* P1* Q2 + x2* y1* P2* Q1 + x2* y2* P2* Q2 =

= x1* P1* (Y1* Q1 + y2* Q2 ) + X2* P2* (Y1* Q1 + y2* Q2 ) =

= (X1* P1 + x2* P2 ) * (Y1* Q1 + y2* Q2 +) = M (X) * M (Y).

властивість 4: Математичне сподівання сумивипадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань кожної з випадкових величин

M (X + Y) = M (X) + M (Y).

Доведення: Маємо дві випадкові величини X і Y з законами розподілу

X x1 x2   Y y1 y2
P P1 P2   P Q1 Q2

Складемо закон розподілу для суми випадкових величин (X + Y):

 X + Y x1+ y1 x1+ y2 x2+y1 x2+y2
P P11 P12 P21 P22

Обчислимо математичне сподівання суми випадкових величин:

M (X + Y) = (x1+ y1 ) * P11 + (X1+ y2 ) * P12 + (X2+ y1 ) * P21 + (X2+ y2 ) * P22 =

= (P11 + P12) * X1 + (P21 + P22) * X2 + (P11 + P21) * Y1 + (P12 + P22) * Y2 .

Доведемо, що сума ймовірностей (P11 + P12) = P1 .

Подія {X = x1} Дорівнює сумі подій:

               
     
   
 
 
 


X = x1 X = x1

Y = y1 і Y = y2

Тоді по теоремі додавання ймовірностей, ймовірність першої події дорівнює P1 = P11 + P12 , де

P1 = P (X = x1), P11 = P (X = x1, Y = y1), P12 = P (X = x1, Y = y2)

Застосувавши теорему додавання ймовірностей до решти подій отримаємо

M (X + Y) = x1* P1 + x2* P2 + y1 * Q1 + y2 * Q2 = M (X) + M (Y).

приклад: виробляють 3 постріли з вірогідністю влучення при кожному:

 № вист.
P  0,4  0,3  0,6

Знайти математичне сподівання загального числа влучень при трьох пострілах.

X - загальне число влучень при трьох пострілах.

P1 = 0,4, P2 = 0,3, P3 = 0,6, X = X 1 + X 2 + X 3 , де

X 1 - Число влучень при першому пострілі, X 2 - Число влучень при другому пострілі, X 3 - Число влучень при третьому пострілі.

X 1   X 2   X 3
P  0,6  0,4   P  0,7  0,3   P  0,4  0,6

M (X) = M (X1) + M (X2) + M (X3) = 0 * 0,6 + 1 * 0,4 + 0 * 0,7 + 1 * 0,3 + 0 * 0,4 + 1 * 0,6 = 1,3.

 



 Імовірнісний сенс математичного очікування. |  Формула для обчислення дисперсії.

 Додавання ймовірностей. |  довжина L |  Незалежні події. Теорема множення для незалежних подій. |  Імовірність появи хоча б однієї події. |  Теорема додавання ймовірностей сумісних подій. |  Повторні випробування. Формула Бернуллі. |  Локальна теорема Лапласа. |  Інтегральна теорема Лапласа. |  Закони розподілу ймовірностей для ДСВ. |  Розподіл Пуассона. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати