На головну

Теорема Вінера-Хинчина.

  1. II закон термодинаміки. Теорема Карно-Клаузіуса
  2. А) Визначники 2-го, 3-го і п-го порядків (визначення і з св-ва). б) Теорема Лапласа про розкладанні визначника за елементами рядка або стовпчика.
  3. Арифметичні застосування теорії чисел. Теорема Паскаля. Висновок ознак подільності.
  4. Зовнішні ефекти і трансакційні витрати. теорема Коуза
  5. Додаток А. Теорема Блоха для вироджених систем 327
  6. Знакозмінні ряди. теорема Лебніца
  7. Інтегральна теорема Лапласа

При вивченні детермінованих сигналів ми використовували гармоні-ний аналіз. Однак щодо випадкових процесів безпосереднє використання класичного гармонійного аналізу неможливо, т. К.

1). Реалізації випадкового процесу xk(T) не задовольняють умові аб-солютной інтегрованості

2). Для випадкового процесу x (t) частотний спектр також є слу-чайної функцією.

Але можна узагальнити гармонійний аналіз, усредняя спектральні раз-розкладання, отримані для окремих реалізацій.

Для цього введемо нову функцію, збігається на інтервалі з реалізацією xk(T) випадкового процесу, а за межами цього ін-Тева рівну нулю:

xk(T)

0

 при

при

Перетворення Фур'є для цієї функції:

Середня потужність сигналу


З іншого боку, середня потужність через частотний спектр:

Функція називається спектральної щільністю потужності реалізації по спектру частот.

Для визначення спектральної щільності сукупності реалізацій необ-хідно провести усереднене по ансамблю можливих значень функції

·

mz - Мат. очікування

kk(t1t2) - Кор. функція

т. к.

то:

кор. функція висловлює зв'язок між значеннями випадкового процесу в різні моменти часу.

Переходячи до межі при, отримаємо:

Т.o., спектральна щільність, що є усередненої характери-стики сукупності реалізацій випадкового процесу, являє собою пряме перетворення Фур'є для кор. функції.

Фур'є для кор. функції.

Обр. преобр. Фур'є:

Ці перетворення, що зв'язують функції і називається перетворенням Хінгіна-Вінера.

Якщо замість коло. частоти введемо частоту в герцах f, то ці вирази приймуть вид:

Так як для стаціонарних ергодичної процесів усереднення по множе-ству може бути замінено розподілених на часі, то функція мо-же бути представлена ??у вигляді

Таким чином енергетичний спектр стаціонарного випадкового процес-са може бути обчислений двома шляхами:

а) безпосереднім наглядом однієї реалізації xk(T) і знаходженням межі (*).

б) знаходження перетворення Фур'є коорр.-ної функції;

Для з'ясування фізичного сенсу функції приймемо в:

А т. К. До (0) висловлює потужність сигналу, то дає усереднену енергетичну картину розподілу потужності сигналу по частотному спектру.

Розглянемо випадок, ті є коли спектральна щільність потужності рівномірна на всіх частотах спектр називається «білим шумом».

               
   
 
 
     


(- Межа прямокутного імпульсу тривалості і висота при).

Таким чином кор. функція білого шуму виражається - функцією:

? при t = 0

K (t) =

0 при t?0

Білий шум x (t) характеризується тим, що значення x (t) в будь-два моменти часу некорреліровани. Такий випадковий процес називається абсолютно випадковим.

Білий шум в точному сенсі є ідеальним, що не зустрічається в реальних умовах, тому що:

1). Досить близькі значення випадкової функції практично завжди залежні;

2). Реальні процеси мають кінцеву потужність, а для білого шуму повна потужність процесу нескінченна.

Але: у багатьох випадках така ідеалізація спрощує мат. Аналіз і не вносить суттєвих похибок.

Спектри реальних процесів обмежені смугою частот через обмеженість смуги пропускання реальних каналів зв'язку.

Якщо білий шум пропустити через ідеальний фільтр низьких частот з граничними частотами = 0,, то на виході отримаємо шум з обмеженим спектром.

 G ()

G0

0

vb

,

де P0= G0vb - Середня потужність процесу

t0 - Інт. кореляции
 k (t)

t

0

t0

Отже, обмеження спектра викликає поява кореляції, причому в міру скорочення смуги частот Wэ= vb інтервал кореляції збільшується.

У разі, якщо для випадкового процесу спектр безперервний і зосереджений біля деякої фіксованої частоти v0, Причому виконується умова

 1,

то такий процес називається вузькосмуговим.

Якщо вузькосмуговий спектр володіє максимумом при v0 і симетричний щодо цієї точки, то коор. функція процесу

 G (v)

Т. к. За умовою смуга спектра дуже мала в порівнянні з частотою v0, То верхні межі інтегрування можуть расп.-ть до ?.

де G * (V) = G (v0-v),

5. Ефективна ширина спектра випадкового процесу

При аналізі випадкових процесів з нерівномірним спектром часто користуються поняттям еквівалентної або ефективної ширини спектра, яка визначається виразом:

,

де Gмакс. (v) - найбільше значення функції спектр. щільності;

Середня потужність процесу:

,

то може бути встановлена ??наступна зв'язок між інтервалом кореляції і ефективної шириною спектра процесу:

 



Як відомо, кореляційна функція будь-якої випадкової функції | Зарубіжний досвід практичного менеджменту

МАГІСТРИ БІ, ІХТ (Каїда), ПМИ, ПРО (денний) - 2012 | Вступ | Процеси, стаціонарні у вузькому сенсі слова. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати