Головна |
Метою методу Гаусса є приведення матриці системи до трикутного вигляду, використовуючи елементарні перетворення:
1. Множення деякого рівняння на число, не рівне нулю.
2. Додаток до одного рівняння системи іншого її рівняння, помноженого на довільне число.
3. Перестановка місцями двох рівнянь системи.
Суть методу полягає в наступному.
Нехай дана система m лінійних рівнянь з n невідомими
Запишемо розширену матрицю системи
нехай а11 ? 0, в іншому випадку завжди можна прийняти за перше рівняння то, в якому коефіцієнт при хi відмінний від нуля і перенумерувати невідомі.
1. Виключимо елементи ai1 , I =2, ... m, множенням першого рядка на вираз ( - ai1/ a11), i =2, ... m і додатком її до подальших рядках. Тут можливі випадки
а) вийшла рядок розширеної матриці С(1) , У якій всі елементи aij(1), I =2, ... m, j =2, ... n дорівнюють нулю, а хоча б один відповідний елемент bi(1)? 0. Тоді вихідна система несумісна.
б) тільки перший рядок матриці С(1) ненульова. Тоді вихідна система складається з одного рівняння. Якщо в цьому рівнянні всі коефіцієнти, за винятком a11 дорівнюють нулю, то вихідна система має єдине рішення. В іншому випадку система невизначена.
в) серед коефіцієнтів ai1(1) існує хоча б один відмінний від нуля. Тоді слід перейти до чергового кроку.
2. Нехай a22(1) ? 0. У матриці С(1) виключимо елемент ai2, i = 3, ... m. Отримаємо матрицю виду
Тут можливі випадки а, б, в. Якщо має місце третій випадок, то слід перейти до наступного кроку і т. Д.
Необхідно привести матрицю до вигляду:
З цієї матриці легко знайдемо єдиний розв'язок, осущесвляя «зворотний хід».
З останнього рівняння маємо:
підставляємо значення хn в попереднє рівняння і знаходимо хn-1 і т.д.
Матричний метод. | Приклади розв'язання задач.
I курс, I семестр | Матриці. Види матриць. | Мінори. Алгебраїчні доповнення. | Система лінійних рівнянь. | Метод Крамера. | Теоретичний курс. | аналітична геометрія | Приклади розв'язання задач. | Розрахунково-графічна робота №2. |