На головну

 4 сторінка

  1. 1 сторінка
  2. 1 сторінка
  3. 1 сторінка
  4. 1 сторінка
  5. 1 сторінка
  6. 1 сторінка
  7. 1 сторінка

Канал А, Y position = -1.00.

Канал В, Y position = 1.00.

МЕТОДИ ПЛАНУВАННЯ ЕКСПЕРИМЕНТУ

Основні поняття і види планів.

Математичне планування експериментів, яке передує постановці фізичного, математичного та аналогового експериментів і супроводжує їх виконання, є засобом скорочення числа експериментів і підвищення достовірності виявлених при дослідженні залежностей. Метою математичного планування експерименту може бути також відшукання екстремальних значень досліджуваних залежностей з найменшою витратою коштів і часу або уточнення коефіцієнтів в виражають їх рівняннях.

Емпіричну залежність, яка виявляється в експерименті, будемо називати рівнянням регресії. Вона виражається функцією відгуку, що зв'язує результат експерименту (або параметр оптимізації) зі змінними параметрами, якими варіюють при проведенні дослідів:

 (11.1)

незалежні змінні х1, x2, ..., xN прийнято називати факторами, а їх значення (для кожного фактора n значень) - рівнями факторів. Координатне простір з координатами х1, x2, ..., xN називають факторним простором, А геометричне зображення функції відгуку в факторному просторі - поверхнею відгуку.

Розрізняють основні і випадкові чинники. До основним факторів належать усі чинники, що вивчаються, а також інші враховуються і вимірювані фактори, що служать для стабілізації процесу. Всі інші неустраняемого фактори, що не піддаються обліку і виміру, відносять до випадковим факторам.

Якщо в експерименті виявляється залежність у від одного фактора х, То такий експеримент називають однофакторном. коли на у впливає декілька чинників, то має місце багатофакторний експеримент.

При використанні методики однофакторного експерименту в багатофакторному експерименті передбачається, що дослідник може з будь-яким ступенем точності стабілізувати всі незалежні змінні системи, потім, по черзі змінюючи деякі з них, можливо визначення шуканих залежностей. Такий експеримент називають ще пасивним.

Необгрунтовано завищений число рівнів факторів n, Що має місце при використанні методики однофакторного експерименту, призводить при багатофакторному дослідженні до різкого збільшення необхідного числа дослідів (nN). Так, наприклад, для повного дослідження впливу чотирьох факторів, кожен з яких може приймати по 5 значень (5 рівнів), буде потрібно виконати 54= 625 різних комбінацій експериментів. Дослідники, які користуються класичною методикою однофакторного експерименту, як правило, змушені обмежувати число експериментів шляхом дослідження тільки частини істотних факторів (зменшення N), Зменшення числа рівнів кожного з факторів (зменшення n) Або дослідження впливу кожного з факторів тільки при деяких приватних значеннях інших факторів. При цьому страждає перш за все достовірність рівняння регресії.

під плануванням експерименту (ПЕ) розуміється постановка дослідів за заздалегідь складеною схемою, яка має якимись оптимальними властивостями.

Можна виділити два основних напрямки в теорії ПЕ: планування експериментів зі з'ясування механізму явищ і планування екстремальних експериментів. Планування першого типу застосовується для знаходження рівняння регресії. У другому випадку експериментатора цікавлять умови, при яких досліджуваний процес задовольняє певним критерієм оптимальності.

Планування експерименту є новий підхід до досліджень, який дозволяє успішно вирішувати найбільш важливі для дослідника питання: скільки і яких дослідів слід провести, як обробити їх результати, щоб вирішити поставлене завдання із заздалегідь заданою точністю при мінімально можливому числі дослідів.

Методи ПЕ застосовні до будь-яких простим і складним системам, що володіє властивістю керованості (значення факторів можна змінювати за бажанням експериментатора) і необхідним ступенем відтворюваності результату.

У теплофізичних експерименті (для дослідження характеристик об'єктів теплоенергетики), що має свою специфіку, математичне планування не знайшло широкого застосування, хоча необхідність в цьому є, так як в цьому випадку існує відтворюваність результатів і можливість вимірювати і цілеспрямовано змінювати змінні. Теплофізичний експеримент часто має високий рівень апріорної інформації, тобто процеси (наприклад, процеси тепломасообміну і тертя) з тим або іншим ступенем наближення описуються системою диференціальних рівнянь. У такому експерименті є можливість попередньо виявити методами узагальнених змінних або локального моделювання залежні і незалежні узагальнені змінні. Використання цієї можливості дозволяє скоротити число змінних, вплив яких передбачається вивчати. При використанні методів ПЕ в такому експерименті в якості факторів слід використовувати ці узагальнені змінні. У тій області теплофізичні експерименту, де не вдається виявити узагальнені змінні, як фактори при ПЕ використовують абсолютні величини впливають параметрів.

Слід зазначити, що ПЕ висуває підвищені вимоги до ретельності проведення експерименту. Статистичні оцінки результатів реалізації плану експерименту неминуче відіб'ють недоліки в експериментуванні.

В ПЕ використовуються поняття планів першого і другого порядків, ортогональних і ротатабельних планів. під планами першого порядку розуміють такі плани, які дозволяють провести активний експеримент для відшукання рівняння регресії, що містить тільки перші ступеня факторів і їх твори. Плани другого порядку дозволяють провести активний експеримент для відшукання рівняння регресії, що містить другі ступеня факторів. В подальшому збільшенні порядку планів найчастіше немає необхідності.

Рівняння регресії має бути адекватним, Тобто воно повинно в деякій області відповідати реальному процесу з необхідною точністю.

ортогональні плани - Це спеціальним чином складені плани, які мають діагональною матрицею системи нормальних рівнянь (в такій матриці всі члени, крім розташованих по діагоналі, дорівнюють нулю) і в зв'язку з цим забезпечують простоту обчислень, незалежність визначення всіх коефіцієнтів рівняння регресії. Кожен коефіцієнт в таких планах визначається за результатами всіх дослідів.

Ротатабельние плани - Це таким чином складені плани, що всі коефіцієнти рівняння регресії визначаються з однаковою дисперсією. При побудові плану експерименту кожен дослідник прагне зробити цей план в певному сенсі оптимальним. До параметрів плану, які зазвичай оптимізуються, відносять число дослідів в плані, ступінь використання факторного простору, середню або максимальну дисперсію знайдених коефіцієнтів, середню або максимальну дисперсію результату експерименту і т.д. Природно, що кожному оптимизируемого параметру відповідає свій критерій оптимальності, на підставі якого виробляють вибір найкращого варіанту плану. Використовують, наприклад А - Gоптимальний плани, що забезпечують найменші значення відповідно середньої дисперсії знайдених коефіцієнтів рівняння і максимальної дисперсії результату експерименту.

раціональне планування

Раціональне планування експериментів дозволяє при мінімальній кількості дослідів найбільш рівномірно охопити всю площу таблиці можливих поєднань факторів, що впливають. В цьому випадку експеримент планується так, щоб ні в одному рядку і ні в одному стовпці не було повторних поєднань. На рис. 11.1 показаний один з можливих планів такого поєднання чотирьох факторів, кожен з яких може приймати п'ять значень.

Номер стовпця середніх (за значенням) квадратів відповідає номеру рівня фактора х1, А номер рядка середніх квадратів - номеру рівня фактора х3. З 25 можливих поєднань чинників х2 и х4 в кожному з середніх квадратів ми вибираємо тільки одне, позначене зачерненной кліткою, причому в кожному рядку і в кожному стовпці дрібних квадратів повинна бути тільки одна така клітина. Неважко переконатися, що для кожного рівня одного з факторів, наприклад для x1= 1, всі рівні інших факторів зустрічаються однаково часто. Так, в цьому випадку: х2 = 3, 4, 5, 2, 1; х3 = 1, 2, 3, 4, 5 і х4 = 1, 2, 3, 5, 4. Тому при визначенні результатів для х1= 1 вплив трьох інших факторів усереднити і результат буде відповідати

Мал. 11.1. Раціональний план експерименту для чотирьох факторів

і п'яти рівнів

Виробляючи таке усереднення для кожного рівня фактора х1можна знайти залежність результату тільки від цього фактора при нейтралізації впливу інших трьох чинників. Аналогічно можна виявити вплив тільки фактора х2при нейтралізації х1, х3 и х4 . Змінюючи порядок усереднення, можна з одних і тих же даних 25 дослідів знайти вплив всіх чотирьох первинних факторів. Таким чином, дана методика дозволяє замінити повне число поєднань факторів, що впливають, рівне 625, всього лише 25 спеціально підібраними сполученнями факторів, тобто скоротити обсяг експериментів в 25 разів.

Методика побудови комбінаційних квадратів. Весь подальший аналіз проводиться для чотирьох первинних незалежних один від одного факторів. При цьому рішення більш простих випадків залежності результатів від трьох або двох чинників може бути отримано з основного випадку за умови, що один або два фактора будуть постійними.

Будується великий комбінаційний квадрат (рис. 11.2) і поруч поміщається середній квадрат в оточенні чотирьох таких же середніх квадратів, що примикають до нього хрест-навхрест (див. Верхню частину рис. 11.2). Пронумеруємо в середньому квадраті всі клітини від 1 до 25. Центральну клітку в великому квадраті позначимо цифрою 13, тобто цифрою, що розташовується в центральній клітці середнього квадрата. Потім відзначимо клітини окремого середнього квадрата, що йдуть по діагоналі зліва направо і зверху вниз 1, 7, 13, 19, 25, і аналогічні їм клітини в третьому стовпці великого квадрата просто зверху вниз. Відзначимо також клітини окремого середнього квадрата, що йдуть зверху вниз і справа наліво, 5, 9, 13, 17, 21 і аналогічні їм клітини в третьому рядку великого квадрата, що йдуть справа наліво. Таким чином, клітини, розташовані на діагоналі окремого середнього квадрата 1, 7, 13, 19, 25, розташуються на великому квадраті уздовж крутий похилій лінії в третьому стовпці. Клітини, розташовані вздовж іншої діагоналі 5, 9, 13, 17, 21, при перенесенні з середнього квадрата на великий квадрат розташуються полого в третьому рядку великого квадрата.

Мал. 11.2. Схема побудови великого комбінаційного квадрата

Якщо використовувати цей же прийом, але відлік вести не від центральної клітини 13, а від будь-якої іншої, наприклад 19, то доведеться продовжити діагональ в квадрати, що примикають до окремого середньому квадрату, тобто взяти клітини 2, 23, 19, 15, 6. При перенесенні цих клітин в великий квадрат вони розташуються уздовж ламаної лінії в четвертому рядку великого квадрата. Продовжуючи це побудова, отримуємо розташування всіх 25 клітин в великому комбінаційному квадраті, причому всі клітини будуть мати різні номери, тобто відповідати різним сполученням первинних факторів.

Аналогічними прийомами можуть бути побудовані комбінаційні квадрати для 7-го, 8-го і т.д. рівнів кожного з чотирьох факторів.

Ріс.11.3 Заповнений комбінаційний квадрат

Методика обробки даних. Сутність методики розглянемо на прикладі для чотирьох факторів х1, х2, х3, х4, Кожен з яких може приймати одне з п'яти наступних значень: 1, 2, 3, 4, 5. Досліди виконані за планом, зображеному на рис. 8.3. У клітинах, що позначають комбінації рівнів факторів в дослідах, записані значення змінної величини у, Отримані в результаті проведення експерименту. Дані дослідів згрупуємо за значеннями факторів (табл. 11.1, 11.2).

Таблиця 11.1

х2 х1  середнє
 середнє -

Для кожного рівня першого, другого, третього і четвертого факторів знаходимо середні значення величини у. Наносячи в системі координат середні значення величини у, Відповідні рівням фактора х1, отримуємо графік залежності у від х1. Аналогічно будуються графіки залежностей у від інших факторів. Згідно з отриманими даними функція у лінійно залежить від кожного з факторів. Параметри цих залежностей знайдемо з використанням методу найменших квадратів. Так як всі графіки приватних залежностей величини у від кожного з факторів аппроксимируются з достатньою точністю прямими, то залежність у від всіх факторів може бути представлена ??сумою приватних залежностей.

Таблиця 11.2

х4 х3  середнє
 
 середнє -

Вільний член цієї залежності b0 визначається наступним чином. Підставляючи в знайдене рівняння значення факторів першого досвіду і величину у1, Отриману в цьому досвіді, знаходимо значення b01. Аналогічно знаходимо для подальших дослідів величини b02, b03, ..., b0k. шуканий параметр b0визначаємо як середньоарифметичне величин b01, b02, ..., b0k, де k - Число проведених дослідів.

Таким чином, методика раціонального планування експерименту, істотно зменшуючи число необхідних дослідів, дозволяє досліджувати деякі багатофакторні системи, проте вона має і ряд недоліків. До числа основних недоліків відно сятся: відсутність статистичного обґрунтування результатів, що може привести до помилкових висновків; обмежена область застосування (описана методика побудови плану експерименту придатна не для всякого числа рівнів факторів); недосконалість і недостатня обґрунтованість способу отримання емпіричних залежностей.

Ці недоліки усуваються в методах статистичного планування експерименту.



3 сторінка | Тести по геології 1 сторінка
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати