На головну

лекція №18

  1. II. ТЕМАТИКА ЛЕКЦІЙ Лекція 1. Об'єкт, предмет соціології, зв'язок з іншими науками
  2. Безпека життєдіяльності. Оглядова лекція
  3. Вступна лекція
  4. Вступна лекція
  5. ВСТУПНА ЛЕКЦІЯ. СИСТЕМА ПОЗНАЧЕНЬ.
  6. ДВАДЦЯТЬ П'ЯТА Лекція
  7. Демонстраційна лекція

triplequad (fun, xmin, xmax, ymin, ymax, zmin, zmax)

triplequad (fun, xmin, xmax, ymin, ymax, zmin, zmax, tol)

приклад:

triplequad ( 'x + y * z', 0, pi, 0,1, -1,1)

ans = 9.86960440108936

Недоліком даної функції є те, що вона не завжди забезпечує обчислення.

.

  1. Статичні моменти дуги щодо осей ОХ і ОУ визначаються за формулами:

завдання: обчислити

>> Syms x y

>> X1 = 0; y1 = -1; x2 = 3; y2 = 5;

>> Y = (x-x1) / (x2-x1) * (y2-y1) + y1; % Складаємо рівняння прямої

>> Dl = sqrt (1 + diff (y, x) ^ 2);

>> I = int ((2 * y ^ 2-x * y) * dl, x, 0,3)

I = 57/2 * 5 ^ (1/2)

завдання: Обчислити.

Задамо рівняння кола в ПСК

>> Syms ro R phi

>> Ro = R;

>> Dl = sqrt (ro ^ 2 + diff (ro, phi) ^ 2)

>> Y = ro * sin (phi);

>> I = int (y ^ 2 * dl, phi, 0, pi)

I = 1/2 * pi * R ^ 2 * (R ^ 2) ^ (1/2)

завдання: обчислити

>> Syms t a b

>> X = a * cos (t);

>> Y = b * sin (t);

>> Dl = sqrt (diff (x, t) ^ 2 + diff (y, t) ^ 2)

>> I = int (sqrt (a ^ 2 / b ^ 2 * y ^ 2 + b ^ 2 / a ^ 2 * x ^ 2) * dl, t, 0, pi / 2)

I = 1/4 * a ^ 2 * pi + 1/4 * b ^ 2 * pi

2. Криволінійні інтеграли 2 роду (по координатах).

властивості:

особливості:

1) при не залежить від шляху інтегрування;

2) при

Обчислення криволінійного інтеграла:

1. Якщо крива L задана рівнянням

2. Якщо крива L задана параметричними рівняннями

Формула Остроградського-Гріна:.

Застосування криволінійного інтеграла:

  1. Площа плоскої фігури, розташованої в площині ХОУ і обмеженою замкнутою лінією L можна знайти за формулою:.
  2. Робота, що здійснюється силою, що діє на точку при переміщенні по дузі АВ, знаходиться за формулою

завдання: обчислити

>> Syms x y

>> X1 = 0; y1 = 1; x2 = 1; y2 = 2;

>> Y = (x-x1) / (x2-x1) * (y2-y1) + y1

y = x + 1

>> I = int (x ^ 2 + x * y ^ 2 * diff (y, x), x, 0,1)

I = 7/4

завдання: обчислити

>> Syms t a

>> X = a * cos (t) ^ 3;

>> Y = a * sin (t) ^ 3;

>> I = int (y * diff (x, t) + x * diff (y, t), t, 0, pi / 4)

I = 1/8 * a ^ 2

завдання:

обчислити

syms x y

>> P = 4 * x * y + 5 * y ^ 3;

>> Q = 2 * x ^ 2 + 15 * x * y ^ 2; % Перевіряємо виконання умови повного диференціала

>> Diff (P, y) -diff (Q, x)

ans = 0% умова виконана, т. е. криволінійний ін-л не залежить від шляху інтегрування.

>> Ezplot (y ^ 2-x)

>> Grid on

 % Вибираємо пряму у = х

P = 4 * x * y + 5 * y ^ 3;

Q = 2 * x ^ 2 + 15 * x * y ^ 2;

>> P = subs (P, y, x)

>> Q = subs (Q, y, x)

>> I = int (P + Q, x, 0,1)

I = 7

завдання: Знайти функцію по її повного диференціалу:.

Рішення: . Вибираємо точку м (х0,у0) = М (1,1)

>> Syms x y

>> P = log (y) + 1 / x;

>> Q = x / y + 6 * y;

>> Pxy0 = subs (p, y, 1)

>> Syms x1 y1 C; U = int (Pxy0, x, 1, x1) + int (Q, y, 1, y1) + C

U = log (x1) + x * log (y1) +3 * y1 ^ 2-3 + C

3. Поверхневі інтеграли 1 роду (по площі поверхні).

Властивості: аналогічні властивостям криволінійного інтеграла 1 роду.

Обчислення поверхневого інтеграла:

Якщо поверхня ? має рівняння, де z- однозначна функція від х і у, то поверхневий інтеграл 1 роду перетвориться в подвійний інтеграл за формулою:

,

де D - проекція поверхні ? на площині ХОУ. Аналогічно обчислюються поверхневі інтеграли 1 роду, коли поверхня ? має рівняння виду

,

.

Застосування поверхневого інтеграла 1 роду:

1. Площа поверхні:.

2. Маса поверхні:.

3. Координати центра ваги:.

4. Моменти інерції відносно координатних осей:

завдання: обчислити,

syms x y

>> Ezmesh (sqrt (x ^ 2 + y ^ 2))

>> Hold on

>> [X, y] = meshgrid (-5: 0.01: 5);

>> Z = 0 + x. * 0;

>> Plot3 (x, y, z)

>> Z = 1 + x. * 0;

>> Plot3 (x, y, z)

>> Z = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2);

>> Dq = sqrt (1 + diff (z, x) ^ 2 + diff (z, y) ^ 2);

>> Dq = simplify (dq);

>> Syms ro phi

>> I = int (int (ro ^ 3, ro, 0,1) * dq, phi, 0,2 * pi)

I = 1/2 * 2 ^ (1/2) * pi

4. Поверхневі інтеграли 2 роду (по координатах).

Значення поверхневого інтеграла 2 роду залежить від сторони поверхні ?, по якій проводиться інтегрування.

Обчислення поверхневих інтегралів:

, Де знак «+» береться в тому випадку, якщо на обраній стороні поверхні (? - кут між нормаллю до поверхні і віссю OZ. Аналогічно обчислюються інші інтеграли.

Формула Остроградського-Гаусса.

Якщо S - замкнута поверхня, то поверхневий інтеграл 2 роду можна перетворити в потрійний по області ?, що обмежена цією областю і навпаки.

.

завдання: обчислити

Рішення:

syms x y

>> Z = x ^ 2/2;

>> Ezmesh (z)

>> Hold on

>> [X, y] = meshgrid (-5: 0.01: 5);

>> Z = 2 + x. * 0;

>> Plot3 (x, y, z)

Поверхня незамкнутая. Розписуємо інтеграл у вигляді двох інтегралів.

 , Т. К. Утворюють циліндра паралельні осі ОУ.

 , Т. К. І нормаль до внутрішній стороні циліндра утворює різні кути з віссю ОХ, тому поверхня розбиваємо на дві.

>> Syms z y

>> I = -2 * sqrt (2) * int (int (z ^ (3/2), z, 0,2) * y, y, 0,4)

I = - 256/5

завдання: Обчислити, де ? - зовнішня сторона поверхні, складеної з частини циліндра і площин

syms x y z

>> P = 4 * x ^ 3;

>> Q = 4 * y ^ 3;

>> R = -6 * z ^ 4;

>> Diff (P, x) + diff (Q, y) + diff (R, z)

ans = 12 * x ^ 2 + 12 * y ^ 2-24 * z ^ 3

syms r phi h a;

I = int (int (int (12 * r ^ 2-24 * z ^ 3, z, 0, h) * r, r, 0, a), phi, 0,2 * pi)

I = 6 * h * a ^ 4 * pi-6 * h ^ 4 * a ^ 2 * pi

лекція №18



Деякі додатки потрійного інтеграла. | Скалярний поле.

Поверхні рівня, лінії рівня | Похідна за напрямком. | Градієнт. | Графіки поля градієнтів quiver | Векторне поле. | Потік вектора. | Ротор (вихор) векторного поля. | циркуляція | Формула Стокса | Оператор Гамільтона і векторні диференціальні операції другого порядку. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати