На головну

метод Ейлера

  1. B) Систематизація конкретно-наукових і загальнонаукових методів пізнання.
  2. D. Симплекс-метод
  3. FDDI. Архітектура мережі, метод доступу, стек протоколів.
  4. I. Внесення відомостей в форму ДМВ-1 при використанні методу визначення митної вартості за ціною угоди із ввезених товарів
  5. I. МЕТОДИКА
  6. I. Методичні вказівки для виконання контрольних робіт
  7. I. Методичні вказівки з підготовки

Цей метод є найпростішим чисельним методом рішення задачі Коші. Розглянемо його на прикладі рішення звичайного диференціального рівняння першого порядку (1) з відповідним початковою умовою (2). Розрахункову формулу методу Ейлера обчислюються на основі використання розкладання функції u(x) В ряд Тейлора в околиці деякої точки xi:

 (3)

якщо приріст h мало (тобто h << xi), То члени ряду, починаючи з доданка, що включає h в другому ступені, можуть бути відкинуті як малі величини. Тоді з (3) в першому наближенні отримаємо

 (4)

Скористаємося формулою (4), застосувавши її до єдиної відомої з умови задачі точці x0. знайдемо в x0 похідну, підставивши (2) в (1):

Підставивши останній вираз в (4) і вважаючи xi = x0, Отримаємо або, скорочуючи позначення, в остаточному вигляді

Таким чином, (4) при відомому значенні функції u0 = u(x0) В початковій точці x0 дозволяє знайти наближене значення u1 = u(x1) При малому зміщенні h від x0. На рис. 1 графічно показаний початковий крок рішення методом Ейлера.

Мал. 1. Метод Ейлера

Рішення можна продовжити, використовуючи знайдене значення функції u1 для обчислення наступного значення - u2. Поширюючи ці міркування на наступні точки, запишемо розрахункову формулу методу Ейлера у вигляді

 (5)

З рис. 1 видно, що помилка методу Ейлера на кроці пов'язана з використовуваною лінійною апроксимацією u(x). Хоча тангенс кута нахилу дотичної до кривої точного рішення в точці (x0,u0) Відомий і дорівнює, він змінюється при зміщенні від x0 до x1. Отже, при збереженні початкового нахилу дотичній на всьому інтервалі h розрахунок u1 виконується з похибкою. Помилка методу Ейлера на кожному кроці має порядок h2, Так як члени, що містять h в другій і більш високих ступенях, відкидаються - див. (3) і (4). зменшуючи h можна знизити локальну помилку на кроці.

 



Аналітичний метод рішення диференціальних рівнянь в системі Matlab. | Модифікований метод Ейлера

Класифікація рівнянь | завдання Коші | Метод Рунге-Кутта. | Рішення диференціальних рівнянь чисельними методами в середовищі Matlab. | поле напрямків | ортогональні траєкторії |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати