На головну

Основні теореми ймовірностей

  1. D) основні ознаки права.
  2. I. Основні богословські положення
  3. I. Основні завдання та напрямки роботи бібліотеки
  4. I. Основні положення
  5. I. Основні поняття математичної теорії ПОЛЯ
  6. I. Основні поняття УПРАВЛІННЯ ТА АВТОМАТИЗОВАНИХ СИСТЕМ ОБРОБКИ ІНФОРМАЦІЇ ТА УПРАВЛІННЯ
  7. I. Основні рахунки

Теорема додавання ймовірностей. Імовірність настання випадкової події А чи неспільного з ним події В дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

р (А чи В) = р (А) + р (В), (4)

Приклад 1. У коробці знаходяться 2 упаковки аспірину, 3 - анальгіну і 5 - цітромона. Навмання витягується одна упаковка, Яка ймовірність того, що нею виявиться упаковка аспірину або анальгіну?

Рішення. Можливість отримання упаковки аспірину (ймовірність події А) Відповідно до формули класичної ймовірності дорівнює:

Р (А) = = 0,2

Аналогічно, ймовірність вилучення упаковки анальгіну (ймовірність події В) Дорівнює:

Р (В) = = 0,3.

Так як дані події є несумісними (якщо витягнуто упаковка аспірину, то при цьому упаковка анальгіну не винесено, і навпаки), то для знаходження шуканої ймовірності відповідно до теоремою складання слід скласти знайдені ймовірності:

Р (А чи В) = Р (А) + р (В) = 0,2 +0,3 = 0,5

Теорема множення ймовірностей для незалежних подій:

Імовірність настання двох незалежних випадкових подій А і В дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

 р (А і В) = р (А) • р (В), (5)

Користуючись цією теоремою, легко визначити, наприклад, ймовірність випадання гербів на двох підкидає монетах. оскільки подія А, Що складається в випаданні герба у першій монети, і подія В, що складається в випаданні герба у другій монети, є незалежними і ймовірності кожного з них рівні 0,5, то за формулою (5) отримаємо:

Р (А і В) = р (А) • р (В) = 0,5 • 0,5 = 0,25

Теорема множення ймовірностей для залежних подій:

Імовірність настання випадкової події А і залежить від нього події В дорівнює добутку ймовірності події А на умовну ймовірність події В:

 р (А і В) = р (А) • р (В / А), (6)

 приклад 2. У коробці знаходяться 2 упаковки аспірину і 3 упаковки анальгіну. Навмання витягують одну упаковку і, не повертаючи її в коробку, витягають навмання ще одну упаковку. Знайти ймовірність того, що обидві витягнуті упаковки виявляться з аспірином.

Рішення. Нехай випадкова подія А полягає в тому, що перша витягнута упаковка виявиться з аспірином. Імовірність цієї події відповідно до класичним визначенням ймовірності дорівнює:

р (А) = = 0,4

випадкова подія В, що складається в тому, що друга витягнута упаковка виявиться з аспірином, є залежним від події А, Т. К. В разі настання події А в коробці залишиться тільки одна упаковка з аспірином з чотирьох і ймовірність події В буде дорівнює

р (В / А) = 0,25.

Тоді ймовірність того, що обидві витягнуті упаковки виявляться з аспірином, знаходиться за формулою (6):

р (А і В) = р (А) • р (В / А) = 0,4 • 0,25 = 0,1.

 



Види випадкових подій | Повторні незалежні випробування

Імовірність випадкової події | Дискретні випадкові величини | Безперервні випадкові величини | Нормальний закон розподілу |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати