На головну

Лекції 3. Системи лінійних рівнянь і методи їх вирішення

  1. C. Графоаналитический спосіб вирішення завдань лінійного програмування
  2. CRM-системи. Визначення, призначення та особливості.
  3. D) формування системи соціологічної освіти
  4. ERP -, MRP - системи. Визначення, призначення та особливості
  5. I етап реформи банківської сістемиотносітся до 1988-1990 рр. (Підготовчий).
  6. I. Неекспериментальні методи
  7. II. Арени. Методи отримання.

1. Визначте майбутню величину суми в 10000 покладеної в банк на 10 років, якщо процентна ставка дорівнює: а) 0,5 * k%; б) k%; в) 1,5 * k%; г) 2 * k%.

2. На яку суму слід укласти договір про страхування, щоб через 5 років мати сумою в 20000,00, якщо процентна ставка дорівнює: а) 0,5 * k%; б) k%; в) k +5%; г) k +10%.

3. Страхова компанія пропонує вам виплату 12000.00 після закінчення k+2 Років. Вартість страхового поліса 1000,00. Яка прибутковість цієї операції?

4. Ви вирішили покласти суму в 1000,00 на k+3 Річний термін в комерційний банк під 16% річних. Агент незалежної фінансової компанії пропонує вам свої послуги з розміщення цієї суми на тих же умовах, однак, з нарахуванням відсотків щокварталу. Яка максимальна сума, яку ви можете сьогодні заплатити агенту за його послуги?

5. Компанія планує щорічні відрахування в 10000,00 для створення пенсійного фонду. Відсоткова ставка 10% річних. Яка буде величина фонду через: а) k+1 Років; б) k+5 Років; в) k+7 Років; г) k+10 Років.

6. Яка поточна вартість ануїтету, що виплачується по 10000,00 щорічно протягом 2 * k+3 Років при ставці, рівній k+ 3%?

7. Будівельна компанія планує покупку земельної ділянки, вартість якого дорівнює 250000,00. Яка повинна бути величина щорічного внеску для створення відповідного фонду протягом 10 років, якщо ставка відсотків, яка дорівнює: а) k+ 1%; б) 2 * k+ 3%; в) k+ 7%; г) k+ 10%.

8. Скільки років знадобиться для виплати боргу в 10000,00 рівними платежами по 2309,75 при процентній ставці, рівній k+ 3%?

9. Співробітник йде на пенсію за вислугою років. Організація, в якій він працює, пропонує два варіанти виплати пенсії: а) у вигляді одноразової допомоги в 55000,00; б) щорічну виплату 10000,00 протягом 10 років. Який варіант пенсії ви йому рекомендуєте, якщо процентна ставка за банківськими депозитами дорівнює k+ 3%? (До вирішення завдання є два підходи).

10. Комерційний банк приймає вклади від населення на наступних умовах: а) з виплатою k+ 6% річних, що нараховуються щорічно; б) з виплатою k+ 5% річних, що нараховуються раз в квартал. Який вид вкладу ви віддасте перевагу? Чому? Обгрунтуйте свою відповідь відповідними обчисленнями.

Студент повинен вирішити всі вищевказані завдання


[1] Аргументи виплата и Тип відносяться до аналізу ануїтетів і означають періодичний платіж і час нарахування періодичного платежу, 0 в кінці періоду, 1 - на початку.

[2] Аргумент Тип означає і час нарахування періодичного платежу, 0 в кінці періоду, 1 - на початку

Лекції 3. Системи лінійних рівнянь і методи їх вирішення

План лекції.

1. Системи лінійних рівнянь. Основні визначення.

2. Метод Гаусса рішення систем лінійних рівнянь.

3. Критерій спільності систем лінійних рівнянь.

4. Матричний метод вирішення систем лінійних рівнянь.

5. Метод Крамера рішення систем лінійних рівнянь.

6. Однорідна система лінійних рівнянь, умова існування ненульових рішень.

1.

системою лінійних рівнянь з невідомими називаються співвідношення виду

 (1)

де - коефіцієнти системи, - вільні члени, - невідомі системи.

система (1) називається однорідної, Якщо всі вільні члени. система (1) називається неоднорідною, Якщо хоча б один з вільних членів.

рішенням системи називається сукупність чисел, при підстановці яких в рівняння системи замість відповідних невідомих кожне рівняння системи перетворюється в тотожність. Система, яка не має жодного рішення, називатися несумісною або суперечливою. Система, що має хоча б одне рішення, називається спільної.

Спільна система називається певної, Якщо вона має єдине рішення. Якщо спільна система має більше одного рішення, то вона називається невизначеною. Однорідна система завжди сумісна, так як має, принаймні, нульове рішення. Вираз для невідомих з якого можна отримати будь-яке конкретне рішення системи, називають її спільним рішенням, А будь-яке конкретне рішення системи - її приватним рішенням. Дві системи з одними і тими ж невідомими еквівалентні (рівносильні), Якщо кожне рішення однієї з них є рішенням іншого або обидві системи несумісні.

Розглянемо методи вирішення систем лінійних рівнянь.

2.

Одним з основних методів вирішення систем лінійних рівнянь є метод Гаусса або метод послідовного виключення невідомих. Суть цього методу полягає в зведенні системи лінійних рівнянь до ступінчастого вигляду. При цьому над рівняннями доводиться проводити такі елементарні перетворення:

1. Перестановка рівнянь системи.

2. Додаток до одного рівняння іншого рівняння.

3. Множення обох частин рівняння на число, відмінне від нуля.

4. Додаток до одного рівняння іншого, помноженого на деяке число, відмінне від нуля.

5. Викреслювання рівнянь виду, т. Е. Тотожностей.

В результаті елементарних перетворень система перетвориться в еквівалентну їй систему.

Розглянемо алгоритм методу Гаусса. Нехай дана система виду (1). Припустимо, що в цій системі коефіцієнт. Зауважимо, що цього завжди можна досягти перестановкою рівнянь системи. Для виключення невідомої у всіх рівняннях, починаючи з другого, помножимо перше рівняння системи послідовно на числа і додамо відповідно до 2-го, 3-го, ..., - му рівняння системи. В результаті система набуде вигляду:

Продовжуючи цей процес далі, виключаємо невідому з усіх рівнянь, починаючи з третього. Для цього помножимо друге рівняння на числа і додамо до 3-му, ..., до - му рівняння системи. Наступні кроки методу Гаусса здійснюються аналогічно. Якщо в результаті перетворень вийде тотожне рівняння, то викреслимо його з системи. Якщо на певному етапі методу Гаусса виходить рівняння виду:

 (2)

тоді розглянута система несумісна, і подальше її рішення припиняється. Якщо ж рівняння виду (2) не зустрінеться при виконанні елементарних перетворень, то не більше ніж через - кроків система (13.1) буде перетворена до ступінчастого вигляду:

 (3)

де. Якщо, то кажуть, що система звелася до трикутного вигляду. В цьому випадку система має єдине рішення, яке знаходимо, вирішуючи систему від низу до верху.

Якщо, то кажуть, що система звелася до трапеціїдальн увазі. В цьому випадку система є невизначеною. Для знаходження загального рішення системи в цьому випадку вибирають головних і вільних невідомих. Наприклад, невідомі приймають за головні, а невідомі приймають за вільні. Переносимо вільні невідомі в праву частину рівнянь і висловлюємо головні невідомі через вільні. В результаті отримуємо загальне рішення системи:

 (4)

Для отримання приватного рішення системи необхідно буде в (4) надати вільним змінним конкретні значення.

Зауважимо, що так як в методі Гаусса все перетворення виконуються над коефіцієнтами при невідомих рівнянь і вільними членами, то на практиці зазвичай цей метод застосовують до матриці, складеної з коефіцієнтів при невідомих і шпальти вільних членів. Цю матрицю називають розширеною. За допомогою елементарних перетворень цю матрицю зводять до ступінчастого вигляду. Після чого за отриманою матриці відновлюють систему і застосовують до неї всі попередні міркування.

Приклад 1. Вирішити систему:

.

Рішення. Складаємо розширену матрицю і зводимо її до східчастого увазі:

Матриця звелася до трикутного вигляду, отже система має єдине рішення.

Відновлюємо систему і вирішуємо її від низу до верху.

Приклад 2. Вирішити систему:

Рішення. Складаємо розширену матрицю і зводимо її до східчастого увазі:

Дана система не сумісна, так як останній рядок матриці відповідає рівняння, яке рішення не має.

Приклад 3. Вирішити систему:

Рішення. Складаємо розширену матрицю і зводимо її до східчастого увазі:

Матриця звелася до трапеціїдальн увазі, отже система є невизначеною:

Нехай - вільна невідома. Тоді отримуємо загальне рішення системи:

Зауваження 1. При вирішенні однорідної системи лінійних рівнянь методом Гаусса на практиці виписують основну, а не розширену матрицю системи. І зводять її до східчастого увазі.

Зауваження 2. Метод Гаусса застосуємо для будь-якої системи лінійних рівнянь, в тому числі і для системи, у якій число рівнянь не дорівнює числу невідомих.

З'ясувати питання про спільності системи і про кількість її рішень допомагає наступна теорема.

Теорема (Критерій спільності системи лінійних рівнянь). Система лінійних рівнянь (1) сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці системи (матриці) дорівнює рангу розширеної матриці (матриці). В іншому випадку, тобто. Е. Якщо, то система не сумісна. Якщо, де - число невідомих системи, то система визначена. Якщо, то система невизначена.

Застосуємо цю теорему для розглянутих в п.2 прикладів.

Для прикладу 1. і число невідомих = 3, т. Е. Система певна.

Для прикладу 2., тому система несумісна.

Для прикладу 3., число невідомих = 3, тому система є невизначеною.

4.

Нехай дана система лінійних рівнянь з невідомими:

 (5)

Позначимо - матрицю з коефіцієнтів при невідомих, - матрицю-стовпець з невідомих, - матрицю-стовпець вільних членів, т. Е.

Нескладно помітити, що тоді система (5) може бути записана у вигляді матричного рівняння

 (6)

Помножимо зліва обидві частини рівняння (6) на матрицю, зворотну матриці, т. Е. На:

 (7)

З огляду на що з (7) отримуємо формулу для вирішення системи в матричної формі:

 (8)

Приклад 1. Вирішити систему в матричної формі:

.

Рішення: Запишемо систему в матричної формі:

позначимо

знайдемо:

.

Звідси

Отримуємо рішення системи:

Таким чином, .

Зауваження. Матричний метод розв'язання систем лінійних рівнянь застосуємо тільки тоді, коли число рівнянь системи дорівнює числу невідомих і матриця є невиродженою.

5.

Розглянемо ще один метод вирішення систем лінійних рівнянь - метод Крамера, заснованої на наступній теоремі:

Теорема (правило Крамера). Якщо в системі лінійних рівнянь з невідомими (система виду (5) визначник, складений з коефіцієнтів при невідомих відмінний від нуля, то система має єдине рішення, яке знаходиться за формулами

, (9)

де - визначник, отриманий з визначника замінений -го стовпця стовпцем вільних членів.

Доведення. Нехай в системі (5) визначник. Позначимо - алгебраїчні доповнення -го стовпчика визначника. Помножимо 1-е рівняння системи на, 2-е на, ..., -е - на, і складемо отримані рівняння. В результаті отримаємо

 (10)

З огляду на, що сума добутків елементів рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення є визначник системи, а сума добутків елементів рядка (стовпця) на алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка (стовпчика) дорівнює нулю, отримуємо, що ліва частина (10) дорівнює.

Нескладно помітити, що права частина (14.6) є визначник, розкритий за елементами -го стовпчика, т. Е.

.

Таким чином, (14.6) можна записати у вигляді

 . (11)

Звідки, при і отримуємо формули (9), т. Е. Формули Крамера.

Зауваження. Метод Крамера має ті ж обмеження для застосування, що і матричний спосіб.

Приклад 2. Вирішити систему з прикладу 1 методом Крамера.

Рішення. Обчислюємо основний визначник системи:

Обчислюємо визначники:

отримуємо

6.

Як було зазначено вище, однорідна система лінійних рівнянь завжди сумісна, тому що відповідно до критерію спільності ранги основної та розширеної матриці збігаються. Це випливає з того, що для однорідної системи розширена матриця містить стовпець нулів - стовпець вільних членів.

Для того щоб однорідна система мала єдине рішення, необхідно і достатньо, щоб ранг основної матриці системи дорівнював числу невідомих, т. Е..

Єдиним рішенням однорідної системи буде нульове рішення. Тому для існування ненульових рішень повинно виконуватися умова.

Якщо в однорідної системі число рівнянь дорівнює числу невідомих, то умова існування ненульових рішень полягає в рівності нулю основного визначника системи т. Е..

 



Завдання, які вирішуються за допомогою шаблонів | ОРГАНІЗАЦІЙНА КУЛЬТУРА
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати