Головна

Теорема додавання ймовірностей

  1. C.) Яким властивістю не володіє операція додавання матриць
  2. II закон термодинаміки. Теорема Карно-Клаузіуса
  3. А) Визначники 2-го, 3-го і п-го порядків (визначення і з св-ва). б) Теорема Лапласа про розкладанні визначника за елементами рядка або стовпчика.
  4. А. Способи визначення ймовірностей.
  5. А. Теореми додавання і множення ймовірностей.
  6. Аксіоматична побудова теорії ймовірностей
  7. Арифметичні операції додавання і віднімання в додатковому коді

Знаючи ймовірності одних подій можна обчислити ймовірності інших подій, якщо вони пов'язані між собою. Теорема додавання ймовірностей дозволяє визначити ймовірність появи одного з декількох випадкових подій.


Теорема. Імовірність суми двох несумісних подій А і В дорівнює сумі ймовірностей цих подій:


Доведення. нехай п - загальне число рівно можливих несумісних елементарних фіналів, т1, - Число випадків сприятливих події А, т2- число випадків сприятливих події В. Так як А і В несумісні події, то події А + В сприятиме т1 + т2 результатів. Тоді, згідно з класичним визначенням ймовірності

Розширюючи це доказ на п подій можна довести наступну теорему.


Теорема. Імовірність суми кінцевого числа попарно несумісних подій Ах, А2, ..., Ап дорівнює сумі ймовірностей цих подій, т. е.

З цієї теореми можна вивести два слідства:


слідство 1.Якщо події АГ А2, ..., Ап утворюють повну групу, то сума їх ймовірностей дорівнює одиниці, т. е.


Доведення. якщо події Ах, А2, ..., Ап утворюють повну групу, то наступ хоча б одного з них є подія достовірне. отже,


Слідство 2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці, тобто. Е.

Доведення. Протилежні події несумісні і утворюють повну групу, а сума ймовірностей таких подій дорівнює 1.

¦ приклад 4.3


Знайти ймовірність випадання цифри 2 або 3 при киданні гральної кістки.

У тому випадку, якщо події А та В є спільними, то справедлива наступна теорема.

Теорема. Імовірність появи хоча б одного з двох спільних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх спільного настання, т. Е.


Доведення. Нехай для повної групи подій мають п результатів, т{ результатів сприяють події А, т2- події В, а l результатів сприяють як події А, Так і події В, тоді


Так як подія А + В полягає в тому, що відбулася подія А, або подія В, або подія А и В. Тому йому буде сприяти т1+ т2-1 результатів.


¦ Приклад 4.4

Ймовірність влучення в мішень одного стрілка дорівнює 0,65, а другого 0,6. Визначити ймовірність ураження мішені при одночасних пострілах двох стрільців.

Рішення:

Так як при стрільбі можливе попадання в мішень двома стрілками, то ці події спільні, отже, Р {А + В) = р (А) + р (В) - р (АхВ) = 0,65 + 0,6 - 0,39 = 0,86.



Визначення ймовірності події | Теорема множення ймовірностей

ЕЛЕМЕНТИ | випадкові події | Операції над подіями |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати