Головна

Л Е К Ц І Я 12

Чисте стан можна задавати як вектором | yn, так і статистичним оператором (матрицею щільності).

Властивості статистичного оператора:

1. Як і всякий оператор, він є ермітів оператор:

 =.

2. Статистичний оператор - позитивний:

.

дійсно,

.

3. Діагональні матричні елементи його лежать в інтервалі (0,1):

.

Це відразу випливає з того, що

an| |nn = | An| Yn |2 ? | yn|2.

Справа величина неотрицательная, а сума всіх таких величин 1.

4. Слід статистичного оператора дорівнює 1:

Sp = 1.

дійсно,

Sp = Sp ( ) = Ay | I| yn = ay | yn = 1.

5. Статистичний оператор чистого стану - ідемпотентна:

.

Це випливає з того, що подвійне проектування нічого нового не дає.

6. Статистичний оператор підпорядковується рівнянню

 =.

Це випливає з його визначення і з рівняння Шредінгера:

=

=

 = - =.

Проведене розгляд робить природним наступне узагальнення.

Основний постулат квантової механіки

Довільний стан квантово-механічної системи описується статистичними оператором загального вигляду, тобто деяким ермітовим позитивним оператором з одиничним слідом:

 =, ? 0, Sp = 1.

фізичний сенс змішаних станів, Тобто станів, описуваних статистичними операторами загального вигляду, встановлює наступне найважливіше твердження:

Всякий статистичний оператор може бути представлений як

 =,

де - статистичні оператори (проектори) чистих станів, а - числа з властивостями

ra?0, = 1.

Доказ грунтується на математичному результаті, що всякий ермітів оператор з кінцевим слідом (такі оператори називаються ядерними) має чисто дискретний спектр. Ставимо завдання на власні значення

 | yan = ra | yan,

де числа ra речовинні (=), а вектори | yan - ортонормированном

aya| ya'n = daa

і утворюють базис:

= .

Множимо обидві частини рівняння праворуч на aya|, Підсумовуємо по а і враховуємо розкладання одиниці:

 =.

Для чисел ra маємо:

ra ? ra aya| yan = aya| ra|yan = aya| | yan ? 0,

де використано рівняння на власні значення і позитивність.

Нарешті, вводячи довільний ортонормованій базис, знайдемо:

=,

і твердження доведено.

В основний постулат входить, зрозуміло, той же спосіб обчислення середніх значень в довільному стані, що і для чистих станів:

 = Sp ().

Перетворимо цю формулу:

 = Sp () = Sp =,

тобто

 =.

Звідси виникає великий сенс змішаних станів. Вони відповідають ансамблю, тобто безлічі копій однієї і тієї ж системи, кожна з яких знаходиться в якомусь квантовому стані ya, Але не відомо, в якому саме. Про це ми можемо судити лише вероятностно, причому ймовірність того, що при вимірюванні F ми «натрапимо» на систему в стані ya дорівнює якраз ra. Тоді середнє значення F в змішаному стані буде обчислюватися як середньозважене окремих середніх з вагами ra:

ra ? 0, ra = 1.

Звичайна термінологія тут така. Якщо у статистичного оператора є хоча б два різних власних значення, то стан називається змішаним. Якщо ж у нього є тільки одне власне значення (тоді воно дорівнює 1), то стан - чисте. Останнє природно, бо тоді зводиться до, а ми бачили, що завдання - один з можливих способів опису звичайних (чистих) станів.

Якщо стан змішане, то при обчисленні середніх доводиться проводити двояке усереднення. Перше з них (складові в останній формулі) - специфічне квантовомеханічної усереднення, від якого нікуди не дінешся. Воно притаманне вже чистим станів і не має класичного аналога. Друге усереднення (підсумовування по а з вагами ra) Проводиться по ансамблю і пов'язано лише з неповнотою опису. Ми з ним зустрілися в первісному прикладі, коли штучно вищепілі одну частинку з єдиної двочасткові системи. Таке усереднення не є специфічним для квантової механіки. Воно притаманне вже класичної фізики і становить основу будь-якого статистичного підходу. Тому в квантовій механіці чільна роль належить саме чистим станів. А змішані стану широко використовуються в квантової статистики, а також при описі поляризаційних властивостей пучків частинок (наприклад, фотонів при наявності у світла часткової поляризації).

І на закінчення одне зауваження технічного характеру. Знайдемо квадрат статистичного оператора:

=, Тобто

.

Шпур знаходимо відразу, враховуючи, що Sp () = 1:

Sp.

А тепер згадаємо, що

 = 1.

Якщо стан чисте, то відмінно від нуля тільки одне, причому воно є 1. Тому для чистого стану

Sp чистий = 1.

Для змішаного стану є кілька ненульових. Кожне з них менше 1, а тому. Це означає що

 = 1,

тобто для змішаного стану

Sp.

В результаті отримано критерій, що дозволяє визначити, не вирішуючи завдання на власні значення оператора, описує він чистий стан, або змішане.


Л Е К Ц І Я 12

ЗМІШАНІ СТАНУ І МАТРИЦЯ ГУСТИНИ | квазікласичне наближення

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати