Головна |
Чисте стан можна задавати як вектором | yn, так і статистичним оператором (матрицею щільності).
Властивості статистичного оператора:
1. Як і всякий оператор, він є ермітів оператор:
=.
2. Статистичний оператор - позитивний:
.
дійсно,
.
3. Діагональні матричні елементи його лежать в інтервалі (0,1):
.
Це відразу випливає з того, що
an| |nn = | An| Yn |2 ? | yn|2.
Справа величина неотрицательная, а сума всіх таких величин 1.
4. Слід статистичного оператора дорівнює 1:
Sp = 1.
дійсно,
Sp = Sp ( ) = Ay | I| yn = ay | yn = 1.
5. Статистичний оператор чистого стану - ідемпотентна:
.
Це випливає з того, що подвійне проектування нічого нового не дає.
6. Статистичний оператор підпорядковується рівнянню
=.
Це випливає з його визначення і з рівняння Шредінгера:
=
=
= - =.
Проведене розгляд робить природним наступне узагальнення.
Основний постулат квантової механіки
Довільний стан квантово-механічної системи описується статистичними оператором загального вигляду, тобто деяким ермітовим позитивним оператором з одиничним слідом:
=, ? 0, Sp = 1.
фізичний сенс змішаних станів, Тобто станів, описуваних статистичними операторами загального вигляду, встановлює наступне найважливіше твердження:
Всякий статистичний оператор може бути представлений як
=,
де - статистичні оператори (проектори) чистих станів, а - числа з властивостями
ra?0, = 1.
Доказ грунтується на математичному результаті, що всякий ермітів оператор з кінцевим слідом (такі оператори називаються ядерними) має чисто дискретний спектр. Ставимо завдання на власні значення
| yan = ra | yan,
де числа ra речовинні (=), а вектори | yan - ортонормированном
aya| ya'n = daa
і утворюють базис:
= .
Множимо обидві частини рівняння праворуч на aya|, Підсумовуємо по а і враховуємо розкладання одиниці:
=.
Для чисел ra маємо:
ra ? ra aya| yan = aya| ra|yan = aya| | yan ? 0,
де використано рівняння на власні значення і позитивність.
Нарешті, вводячи довільний ортонормованій базис, знайдемо:
=,
і твердження доведено.
В основний постулат входить, зрозуміло, той же спосіб обчислення середніх значень в довільному стані, що і для чистих станів:
= Sp ().
Перетворимо цю формулу:
= Sp () = Sp =,
тобто
=.
Звідси виникає великий сенс змішаних станів. Вони відповідають ансамблю, тобто безлічі копій однієї і тієї ж системи, кожна з яких знаходиться в якомусь квантовому стані ya, Але не відомо, в якому саме. Про це ми можемо судити лише вероятностно, причому ймовірність того, що при вимірюванні F ми «натрапимо» на систему в стані ya дорівнює якраз ra. Тоді середнє значення F в змішаному стані буде обчислюватися як середньозважене окремих середніх з вагами ra:
ra ? 0, ra = 1.
Звичайна термінологія тут така. Якщо у статистичного оператора є хоча б два різних власних значення, то стан називається змішаним. Якщо ж у нього є тільки одне власне значення (тоді воно дорівнює 1), то стан - чисте. Останнє природно, бо тоді зводиться до, а ми бачили, що завдання - один з можливих способів опису звичайних (чистих) станів.
Якщо стан змішане, то при обчисленні середніх доводиться проводити двояке усереднення. Перше з них (складові в останній формулі) - специфічне квантовомеханічної усереднення, від якого нікуди не дінешся. Воно притаманне вже чистим станів і не має класичного аналога. Друге усереднення (підсумовування по а з вагами ra) Проводиться по ансамблю і пов'язано лише з неповнотою опису. Ми з ним зустрілися в первісному прикладі, коли штучно вищепілі одну частинку з єдиної двочасткові системи. Таке усереднення не є специфічним для квантової механіки. Воно притаманне вже класичної фізики і становить основу будь-якого статистичного підходу. Тому в квантовій механіці чільна роль належить саме чистим станів. А змішані стану широко використовуються в квантової статистики, а також при описі поляризаційних властивостей пучків частинок (наприклад, фотонів при наявності у світла часткової поляризації).
І на закінчення одне зауваження технічного характеру. Знайдемо квадрат статистичного оператора:
=, Тобто
.
Шпур знаходимо відразу, враховуючи, що Sp () = 1:
Sp.
А тепер згадаємо, що
= 1.
Якщо стан чисте, то відмінно від нуля тільки одне, причому воно є 1. Тому для чистого стану
Sp чистий = 1.
Для змішаного стану є кілька ненульових. Кожне з них менше 1, а тому. Це означає що
= 1,
тобто для змішаного стану
Sp.
В результаті отримано критерій, що дозволяє визначити, не вирішуючи завдання на власні значення оператора, описує він чистий стан, або змішане.
Л Е К Ц І Я 12