На головну

теорема Ролля

  1. II закон термодинаміки. Теорема Карно-Клаузіуса
  2. А) Визначники 2-го, 3-го і п-го порядків (визначення і з св-ва). б) Теорема Лапласа про розкладанні визначника за елементами рядка або стовпчика.
  3. Арифметичні застосування теорії чисел. Теорема Паскаля. Висновок ознак подільності.
  4. Зовнішні ефекти і трансакційні витрати. теорема Коуза
  5. Додаток А. Теорема Блоха для вироджених систем 327
  6. Знакозмінні ряди. теорема Лебніца
  7. Інтегральна теорема Лапласа

теорема(Ролль) (про нулі похідної функції, що приймає на кінцях відрізка рівні значення). Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b], дифференцируема на інтервалі (a, b) і на кінцях відрізка приймає однакові значення f(a) = f(b), то знайдеться хоча б одна точка з є (a, b), в якій похідна f '(x) звертається в нуль, т. е. f '(с) = 0.

Доведення. Так як f(x) Неперервна на відрізку [a, b], То вона, в силу 2-й теореми Вейерштрасса, досягає на ньому свого найбільшого М і найменшого т значень. Можуть представитися два випадки.

1. Якщо М = т, то f(x) Постійна на відрізку [a, b] => f'(x) = 0 в будь-якій точці відрізка. Теорема вірна.

2. Якщо М > т, то f(x) Досягає хоча б одне зі значень М або т у внутрішній точці с інтервалу (a, b), так як f(a) = f(b) (Рис. 2).

Мал. 2

Навіть в тому крайньому випадку, коли, наприклад, функція f(x) Приймає своє найбільше значення на кінці відрізка f(a) = f(b) = M, То найменше значення m функція буде приймати всередині відрізка. Отже, знайдеться така точка с є (a, b), в якій f(с) = m. Тоді по теоремі Ферма f '(с) = 0. Теорема доведена.

Геометричний сенс теореми Ролля: На графіку f(x) Знайдеться точка, в якій дотична до графіка паралельна осі Ох. На третьому малюнку (рис.2) таких точок дві.




теорема Ферма | теорема Коші

Лекція 6. Застосування похідних до дослідження функцій | Теорема Лагранжа і її наслідки | правило Лопіталя | Приклад 1. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати