Головна |
Найважливіший клас функцій, інтеграли від яких завжди виражаються через елементарні функції, представляють раціональні функції:, де - многочлени.
Якщо раціональний дріб неправильна, то за допомогою ділення на можна виділити з неї цілу частину і правильну раціональну дріб. наприклад:
Далі розглядаємо інтегрування тільки правильних раціональних дробів (тобто дробів у яких ступінь многочлена в чисельнику нижче ступеня многочлена в знаменнику).
Розглянемо питання про розкладання раціональних дробів на прості дроби. З алгебри відомо, що всякий многочлен з дійсними коефіцієнтами ступеня вище другий розкладається єдиним чином на лінійні і квадратичні множники з речовими коефіцієнтами.
Нехай многочлен розкладений на множники в наступному вигляді:
Наприклад. 1) 2)
3)
Інтегрування функцій виду, де - раціональна функція щодо аргументів
За допомогою виділення повного квадрата в квадратному тричленну і заміни змінної інтеграл приводиться до одного з наступних трьох видів ( -раціональна функція);
. . Тут за допомогою заміни змінної, =, цей інтеграл перетвориться до виду.
. Інтеграли виду знаходяться за допомогою заміни, при цьому, тоді.
. Інтеграли виду знаходяться за допомогою заміни, при цьому
.
Для спеціальних видів раціональної функції іноді простіше використовувати інші методи знаходження інтегралів. Розглянемо два з них.
. Інтеграли виду знаходяться за допомогою заміни змінної,.
. Інтеграл, де - многочлен го ступеня можна записати у вигляді де - деякий многочлен ступеня, число. Коефіцієнти і знаходяться методом невизначених коефіцієнтів після диференціювання обох частин записаного рівності.
Інтегрування функцій, що містять квадратний тричлен. | Інтегрування деяких тригонометричних функцій