Головна

Інтегрування раціональних функцій

  1. A. Допоміжні елементи для зв'язку функцій між собою.
  2. I.A.4. Прості ПП з порушенням психічних функцій
  3. VI. РОЗПОДІЛ ФУНКЦІЙ ПО ЧИННИМ ОСОБАМ
  4. VII. Стан зорових функцій
  5. Алгоритм оціночних (штрафних) функцій
  6. Аналітичний опис булевих функцій
  7. Арифметика меж функцій. Порядкові властивості меж.

Найважливіший клас функцій, інтеграли від яких завжди виражаються через елементарні функції, представляють раціональні функції:, де - многочлени.

Якщо раціональний дріб неправильна, то за допомогою ділення на можна виділити з неї цілу частину і правильну раціональну дріб. наприклад:

Далі розглядаємо інтегрування тільки правильних раціональних дробів (тобто дробів у яких ступінь многочлена в чисельнику нижче ступеня многочлена в знаменнику).

Розглянемо питання про розкладання раціональних дробів на прості дроби. З алгебри відомо, що всякий многочлен з дійсними коефіцієнтами ступеня вище другий розкладається єдиним чином на лінійні і квадратичні множники з речовими коефіцієнтами.

Нехай многочлен розкладений на множники в наступному вигляді:

Наприклад. 1) 2)

3)

Інтегрування функцій виду, де - раціональна функція щодо аргументів

За допомогою виділення повного квадрата в квадратному тричленну і заміни змінної інтеграл приводиться до одного з наступних трьох видів ( -раціональна функція);

 . . Тут за допомогою заміни змінної, =, цей інтеграл перетвориться до виду.

 . Інтеграли виду знаходяться за допомогою заміни, при цьому, тоді.

 . Інтеграли виду знаходяться за допомогою заміни, при цьому

.

Для спеціальних видів раціональної функції іноді простіше використовувати інші методи знаходження інтегралів. Розглянемо два з них.

 . Інтеграли виду знаходяться за допомогою заміни змінної,.

 . Інтеграл, де - многочлен го ступеня можна записати у вигляді де - деякий многочлен ступеня, число. Коефіцієнти і знаходяться методом невизначених коефіцієнтів після диференціювання обох частин записаного рівності.

Інтегрування функцій, що містять квадратний тричлен. | Інтегрування деяких тригонометричних функцій

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати