Головна |
Якщо хоча б одна з умов теореми існування не виконується, то мова йде про несобственном інтеграл.
Невласними інтегралами називаються:
1) інтеграли з нескінченними межами;
Межа сходиться якщо інтеграл існує і кінцевий.
2) інтеграли від необмежених функцій, тобто мають нескінченний розрив в точці з на інтервалі [a, b]
Межа сходиться якщо інтеграл існує і кінцевий.
Обчислення інтегралів з нескінченними межами за допомогою функції мають особливості, які побачимо при вирішенні прикладів.
приклад:
Необхідно обчислити наступний невласний інтеграл:
Рішення:
Syms x;
Y = x / sinh (5 * x);
Int (y, 0, inf)
ans = 1/100 * pi ^ 2.
Відповідь: інтеграл сходиться
А тепер обчислимо той же інтеграл, ввівши символьну змінну:
Повторимо обчислення інтеграла:
Syms x a;
Y = x / sinh (a * x);
Int (y, 0, inf)
ans = limit (1/2 * (4 * dilog (exp (-a * x)) - dilog (exp (-2 * a * x))) / a ^ 2, x = inf).
Рішення в явному вигляді не отримано. Причина в тому, що змінна не визначена. Це може бути число позитивне або негативне, дійсне або комплексне. Нехай це число дійсне і позитивне. Тоді програма буде мати вигляд:
Syms x a;
Y = x / sinh (abs (a) * x);
Int (y, 0, inf)
ans = 1/4 * pi ^ 2 / abs (a) ^ 2.
Функція дозволяє обчислювати досить складні інтеграли. Ось один із прикладів.
приклад:
Потрібно обчислити наступний невласний інтеграл:
.
Рішення:
Syms x a;
Y = 1 / (x + sqrt (x ^ 2 + a ^ 2)) ^ 3;
Int (y, 0, inf)
ans = 3/8 / a ^ 2.
Не потрібно вказувати програмі на знак числа і писати, тому що число зводиться в квадрат і є позитивним.
Аналітичні методи обчислення інтеграла | Методи чисельного інтегрування.