На головну

Оператори фізичних частинок

  1. I. Загальні відомості про гідрології ВОДНИХ ОБ'ЄКТІВ, ХІМІЧНИХ І ФІЗИЧНИХ ВЛАСТИВОСТІ ПРИРОДНИХ ВОД
  2. MS Access. Для порівняння значень з константами можна використовувати оператори
  3. N Основними показниками якості виготовлених виробів є точність сформованих фізичних властивостей, виконаних розмірів і форми елементів деталей, надійність.
  4. W - величезне число (в 1 молі - 6,02-1023) частинок, тому використовують lnW.
  5. WAN фізичних понять шар
  6. Агрегативна стійкість суспензії - це здатність зберігати незмінною в часі ступінь дисперсності, т. Е. Розміри частинок і їх індивідуальність.
  7. Бухгалтерське оформлення операцій в іноземній валюті за вкладами фізичних осіб-нерезидентів.

6.1 Лінійні оператори. Власні функції і

власні значення операторів

Оператор є символ для позначення дії або програми дій, які потрібно зробити над деякою функцією, щоб отримати іншу функцію.

Оператори позначаються великими латинськими літерами з «капелюшком» нагорі: A,. Якщо оператор стоїть поруч з функцією і зліва від неї, то це означає, що він діє на функцію. В результаті виходить нова функція тих же змінних:

A? = ?.

функції ? и ? повинні ставитися до одного класу функцій. Неможливий, наприклад, перехід від функції дійсної змінної до функції комплексного.

Приклади операторів:

1) A = х- Оператор множення на змінну х;

2) = ? / ?х - Оператор диференціювання по х;

3) = перейти до комплексно-сполученого висловом.

Результати дій цих операторів:

1) A ? = х?; 2) ? = ?? / ?х; 3) C? = ? *.

Оператор називається лінійним, якщо для нього виконується умова:

(c1?1 + c2?2) = c1 ?1 + c2 ?2,

де ?1 и ?2 - Функції, с1, з2 - Постійні (комплексні числа).

Наприклад, оператори диференціювання і множення на змінну величину лінійні, а зведення в ступінь - немає.

Символи операторів розглядаються як самостійні математичні об'єкти, над якими можна проводити ряд математичними дій: складання, множення, піднесення до степеня, розкладання в статечної ряд:

 якщо

Додавання асоціативно і коммутативно:

оператор C називається твором операторів:

Оператори, для яких, називається коммутирующими. Оператор називається комутатором операторів A і, і позначається.

Для комутуючих операторів [] = 0.

Рівність називається рівнянням для власних значень і власних функцій оператора A, тут ? - Функція, а - Число.

Якщо функція задовольняє стандартним вимогам для ? - Функції, то вона називається власною функцією оператора A, Що належить його своїм значенням а. Сукупність усіх власних значень називається спектром оператора. Спектр буває дискретним, безперервним або змішаним.

Власне значення називається виродженим, якщо йому відповідає кілька лінійно незалежних власних функцій. Число таких функцій називається кратністю виродження.

Оператор A називається самосопряженних або ермітовим, якщо виконується рівність:

.

наприклад, A = х; - Самосопряженних оператори.

Сума самосопряженних операторів є самосопряженних оператор. Застосування самосопряженних операторів у квантовій механіці обумовлюється тим, що їх власні значення завжди речовинні. Власні функції ермітових операторів попарно ортогональні.

Для ермітових операторів характерна повнота системи власних функцій. Це означає, що в разі дискретного спектра за власними функціями ермітовим оператора може бути розкладена будь-яка функція стану в узагальнений ряд Фур'є. У разі безперервного спектра розкладання проводиться в інтеграл Фур'є.

6.2 Оператори і допустимі значення фізичних величин. Оператор Гамільтона. Обчислення середніх значень фізичних величин

Отже, енергія микросистем, як ми бачили на прикладі частки в потенційній ямі і гармонійному осцилляторе, приймає дискретні значення, квантуется. Це означає, що використовувати для енергії та інших величин просто речові числа або вектори, як це робилося в класичних електродинаміки і механіки, не можна: не всі точки числової осі для енергії допустимі. Зв'язок між фізичною величиною і її математичною моделлю встановлюється постулатом: в квантовій механіці основними фізичними величинами зіставляються лінійні самосопряженних оператори. Зазвичай, оператор позначається тією ж буквою, що і величина в класичній фізиці.

Вихідними є оператори координат і імпульсу. оператор координати х є дія множення на цю змінну:

Оператор проекції імпульсу:

Оператори інших величин можна знайти, враховуючи, що співвідношення між операторами фізичних величин такі ж, як і між цими величинами в класичній фізиці:

оператор радіус - вектора

імпульсу

моменту імпульсу

,

кінетичної енергії

,

потенційної енергії

,

повної механічної енергії

Оператор повної енергії називається оператором Гамільтона або гамильтонианом. Він відіграє особливу роль, бо його власні функції виявляється хвильовими функціями стаціонарних станів. Крім того, він входить в рівняння Шредінгера.

Зв'язок між оператором і спостерігаються при вимірах значеннями фізичної величини дається постулатом: фізична величина може прийматися ті і тільки ті значення, які співпадають з власними значеннями її оператора.

Найбільш повний опис квантової системи досягається завданням відповідної цього стану хвильової функції. У ній міститься вся інформація про систему. Функція стану дозволяє визначити щільність ймовірності для положення частинки в просторі і її зміни в часі. За допомогою хвильової функції здійснюється розрахунок можливих результатів фізичних експериментів і вимірювань фізичних величин, визначаються середні значення фізичних величин в заданому стані. Зміна хвильової функції в часі відображає зміну стану квантової системи під дією зовнішніх сил.

Для визначення функції стану в кожному конкретному випадку мікросистеми записується рівнянням Шредінгера:

.

У такого запису рівняння Шредінгера придатне для будь-яких квантових об'єктів. Залежно від виду мікрочастинки (окрема частинка, атом, кристал) змінюється вид оператора Гамільтона, структура ж рівняння залишається незмінною.

Оператор Гамільтона характеризує микросистему з динамічної сторони, його вид залежить від мас частинок, їх електричних зарядів, взаємодії між ними. В принципі гамильтониан повинен бути заданий в конкретних завданнях квантової механіки подібно до того, як задаються сили в класичній механіці при використанні другого закону Ньютона.

Хвильові функції - рішення рівняння Шредінгера - є комплексними функціями речових змінних. Аргументи хвильової функції - координати і час.

Стан квантової системи описується хвильової функцією, яка нічого не говорить про значення фізичних величин, якими характеризуються система. Таку інформацію дає тільки вимір, результат якого не завжди однозначна. Отримання того чи іншого значення на досвіді в ряді випадків є випадковою подією. Тоді кажуть, що величина не має певного значення. Однак можна розрахувати ймовірність даного значення при багаторазових вимірах, маючи в своєму розпорядженні функцією стану: ймовірність того, що при вимірюванні вийде значення аi фізичної величини А, Дорівнює квадрату модуля відповідного коефіцієнта Фур'є в розкладанні хвильової функції в ряд або інтеграл Фур'є за власними функціями оператора цієї фізичної величини.

Нехай ? - хвильова функція частинки, щоб розрахувати шукані ймовірності, представимо її у вигляді ряду:

,

де ?i - Власні функції оператора A, Що має дискретний спектр, тоді ймовірність отримання аi є:

.

У разі безперервного спектра хвильова функція розкладається в інтеграл Фур'є. якщо ?(а, х) - Власна функція, то:

.

Оскільки тепер ми маємо безперервне безліч значень величини А, То в строгому сенсі слова не можна говорити про можливості окремих значень. імовірність d? попадання значень величини в інтервал від а до (а + da) Дорівнює:

d? (a) = ? (a) da,

де ? (а) - Щільність ймовірності (функція розподілу ймовірностей) дорівнює квадрату модуля коефіцієнта с(а):

.

Ясно, що певного значення у величини немає, якщо функція стану не є власною для оператора цієї величини. У цьому випадку визначають середнє значення досить великого числа вимірювань:

.

Для теоретичної оцінки середнього значення фізичної величини досить знати функцію стану частинки (передбачається, що вид оператора цієї величини відомий). якщо аi - Власні значення оператора A и ?i - Ймовірності їх виявлення, то середнє значення:

.

Підставивши ?i, Маємо:

,

де ? - Хвильова функція, ?i - Власні функції оператора A(A?i = аi?i), Тоді:

.

Обчислення середніх має велике значення для мікросвіту. Коли в розглянутому стані фізична величина не має певного значення, середнє значення характеризує стан.

Зрозуміло, що якщо ? = ?i, То:

,

де ? *  = 1.

У стаціонарному стані:.

Якщо оператор фізичної величини не містить часу, то його власні функції і власні значення також не залежать від часу. Тому в стаціонарних станах розподіл ймовірностей для значень даної величини також виявляється стаціонарним, незалежних від часу. Постійно і середнє значення.

Умовою існування певних значень двох фізичних величин в одному і тому ж стані системи є комутація їх операторів.

Наприклад, оператори імпульсу і кінетичної енергії коммутируют:

,

тому кінетична енергія і імпульс мікрочастинки мають певні значення.

Для координати і імпульсу комутатор дорівнює

,

і, тоді - комутатор відмінний від нуля, оператори і не комутують. Значить, не існує станів, в яких були б разом точно задані координата х і проекція імпульсу рх.

6.3. Закони збереження фізичних величин в

квантовій механіці

У класичній механіці виконуються закони збереження енергії, імпульсу і моменту імпульсу - величин, що мають універсальне застосування на всіх рівнях фізики. У мікросвіті до них додається закон збереження парності - величини, специфічної для квантової фізики.

Розглянемо умова збереження певного значення фізичної величини. Якщо функція стану ?, В якому знаходиться система, збігається з власною функцією ?i оператора A, То величина має певне значення аi. Якщо похідна за часом від оператора A дорівнює нулю (оператор не залежить від часу), то певне значення аi зберігається.

Закон збереження енергії. У стаціонарних полях оператор Гамільтона не залежить від часу,, тому енергія <Е> = const. Якщо функція стану системи в стаціонарному полі власна для оператора Гамільтона, то енергія має певне зберігається значення. Такий стан є стаціонарним. Енергія мікрочастинки в стаціонарному полі зберігається.

Закон збереження імпульсу. Оператор імпульсу частинки не містить часу і комутує з оператором Гамільтона для вільної частинки. Отже, імпульс вільної частки зберігається.

Якщо частка знаходиться в силовому полі, то оператор Гамільтона містить координати, на які діє оператор імпульсу, т. Е. І не комутують. У силовому полі імпульс не зберігається.

Для замкнутої системи мікрочастинок імпульс зберігається.

Закон збереження моменту імпульсу. Оператор моменту імпульсу частинки не містить часу і комутує з оператором Гамільтона вільної частинки, отже, момент імпульсу вільної частинки зберігається.

У загальному випадку в силовому полі момент імпульсу не зберігається. У замкнутій системі мікрочастинок момент імпульсу зберігається.



лекція 7 | Парність, закон збереження парності
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати