На головну

Звернення безперервної монотонної функції.

  1. A) металеве грошовий обіг характеризується зверненням повноцінних грошей;
  2. I. Поняття мистецтва і його соціальні функції. Види і жанри.
  3. I. Поняття мистецтва і його соціальні функції. Види і жанри.
  4. А) Сутність права, його ознаки та функції.
  5. А. Закон розподілу неперервної випадкової величини та її числові характеристики.
  6. Булеві функції. Способи їх завдання
  7. Введення запізнень в рівняння безперервної і дискретної моделей, що описують процес прийняття рішення.

визначення: Функція f оборотна на безлічі Х якщо рівняння f (х) = у однозначно вирішується щодо уIf (Х).

визначення: Якщо функція f оборотна на безлічі Х. Те функція однозначно зіставляє кожному уо таке х0 що f (х0) = У0 - Називається оберненою до функції f.

теорема: Нехай строго зростаюча (строго спадна) ф-ція f визначена і неперервна в проміжку Х. Тоді існує зворотна функція f ',

певна в проміжку Y = f (Х), також строго зростаюча (строго спадна) і безперервна на Y.

Доказ: Нехай f строго монотонно зростає. З безперервності по слідству з Теореми про проміжному значенні слід, що значення неперервної функції заповнюють суцільно деякий проміжок Y, так що для кожного значення у0 з цього проміжку знайдеться хоч одне таке значення х0IХ, що f (х0) = У0. З суворої монотонності слід що таке заначеніямі може знайтися тільки одне: якщо х1> Або <х0, То відповідно і f (х1)> Або 0). Зіставляючи саме це значення х0 довільно взятому у0 з Y ми отримаємо однозначну функцію: х = f '(у) - зворотний функції f. Функція f '(y) подібно f (x) також строго монотонно зростає. Нехай y ' у '= f (х') і у" = f ( х ") Якби

було х '> х ", тоді із зростання f слід що у'> у" - протиріччя з умовою, якщо х '= х ", то у' = у" - теж протиріччя з умовою.

Доведемо що f 'неперервна: досить довести, що Lim f' (у) = (у0) При у®у0. Нехай f '(у0) = Х0. Візьмемо довільно Е> 0. Маємо "уIУ: | f '(у) -f' (у0) | <Е <=> х00+ Е <=> f (х0-Є) <У 0+ Е) <=> f (х0-Є) -у0<У-у00+ Е) -у0 <=> -d '<У-у00-f (х0-Є)> У0-f (х0) = 0, d "= f (х0+ Е) -у0> F (х0) -у0= 0,

вважаючи d = min {d ', d "} маємо: як тільки | у-у0| -d '<у-у0 | f '(у) -f' (у0) | <Е

Безперервність статечної функції з раціональним показником:

визначення: Ступеневою функцією з Q показником називається функція хM / N - Де mIZ, nIN. Очевидно статечна функція явл-ся cуперпозіціей непре ної строго монотонно зростаючих ф-ций хM і х1 / M => Ф-ція хM / N - Неперервна при х> 0. Якщо х = 0, то хM / N = 1, а отже неперервна.

Розглянемо ф-цію хN, NIN: вона неперервна так як дорівнює добутку безперервних функцій у = х.

n = 0: хN тотожно дорівнює константі => хN - Неперервна х-N= 1 / хN, враховуючи що:

1) 1 / г - безперервна функція при х?0

2) хN (NIN) - теж безперервна функція

3) х-N= 1 / хN - Суперпозиція ф-ий 1 / х і хN при х?0

По теоремі про безперервність суперпозиції ф-цій отримуємо: х-N - Безперервна при х?0, т. О. отримали що хMmIZ - безперервна ф-ція при х?0. При х> 0 ф-ція хN nIN строго монотонно зростає і ф-ція хNнеперервна => $ функція зворотна даної, яка також строго монотонно зростає (при m> 0), очевидно цією функцією буде функція х1 / N

Тригонометричні функції на певних (для кожної) проміжках оборотні і строго монотонні => мають безперервні зворотні функції => зворотні тригонометричні функції - неперервні

 



Теорема про проміжному значенні безперервної функції. | Визначення та властивості показовою функції на множині дійсних чисел.

Рахункові і незліченні безлічі. Счетності безлічі раціональних чисел. | Визначення дійсного числа нескінченної десятковим дробом. Щільність Q в R. | Теорема Дедекинда про повноту R | Верхні і нижні межі числових множин. | Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності. Їх властивості. | арифметика меж | Визначення границі послідовності і його єдиність. | Лемма про вкладені проміжках | Підпослідовності. Теорема Больцано-Вейєрштрасса. | Біном Ньютона для натурального показника. Трикутник Паскаля. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати