На головну

Біном Ньютона для натурального показника. трикутник Паскаля.

  1. II закон Ньютона у векторній та координатній формі
  2. Арифметичні застосування теорії чисел. Теорема Паскаля. Висновок ознак подільності.
  3. Біном Ньютона
  4. Біном Ньютона
  5. Біномінальні коефіцієнти. Властивості біноміальних коефіцієнтів.
  6. біномінальної закон

Формула Ньютона для бінома:

 nIN

 розкладання Паскаля

 (Записав коефіцієнти у вигляді піраміди - отримаємо трикутник Паскаля)

...

 *: к = 0,1, ..., n

Доказ (по індукції):

1) n = 0 - вірно (1 + х)0= 1 => (1 + х)0 =

2) Нехай вірно для n: доведемо що це вірно і для n + 1:

 = Ч. т. Д

16. послідовності (У всіх межах n® ?)

1) Lim = 0 (p> 0)

 - Це означає що, ми знайшли таке n0=: "N> n0 | |

2) Lim = 1

xN= - 1

 = 1 + xN

n = (1 + xN)n

n =

xN2<2 / (n-1)

 При n® ? ®0 => xN®0 (Лемма про затиснутою послідовності) => Lim = Lim (1 + xN) = 1 + 0 = 1

19. послідовність (1 + 1 / n)n і її межа.

xN=; yN=; zN= yN +

xN монотонно зростає: доведемо:

xN= (1 + 1 / n)n= 1 + n / 1! * 1 / n + n * (n-1) / 2! * 1 / n2 + ... <1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1 / n! = yN => YNN<3

Скористаємося нерівністю Бернуллі (1 + x)n?1 + nx, x> -1) (доводиться по індукції):

x = 1 / n => (1 + 1 / n)n?1 + n / n = 2

Отримали: 2 ? xN<3 => xN - Обмежена, враховуючи що xN - Монотонно зростає => xN - Сходиться і її межею є число е.

17. Послідовності (У всіх межах n® ?)

1) Lim = 1, a> 0

a) a?1:

xN= xN + 1= => $ Lim xN= x

xN + 1= xN *

xN= xN + 1 *

xN= xN + 1 * xN * (N + 1)

Lim xN= Lim (xN + 1 * xN * (N + 1)) => x = x * x => x = 1

б) 0 N=

Lim = 1 b = 1 / a => = 1 / => Lim = 1/1 = 1

2) Lim = 0, a> 1

xN= xN + 1=

 т. к. Lim = Lim = Lim = 1

 => $ N0: "N> n0 xn + 1 / xn <1 => СТ x = limxn

xN + 1= xN *

Lim xN + 1 = Lim xN * => X = x * 1 / a => x = 0

Доведемо, що якщо xN®1 => (xN)a®1:

a) "n: xN?1 і a?0

(xN) [a]? (xN)a<(XN)[a] +1 => По лемі про затиснутою остан-ти, з огляду на що Lim (xN)[a]= Lim (xN)[a] +1= 1 (по теоремі про Lim твори) отримуємо Lim (xN)a = 1

б) "n: 0 N<1 і a?0

yN= 1 / xN => Yn> 1 Lim yN= Lim1 / xN= 1/1 = 1 => (по (а)) Lim (yN)a = 1 => lim 1 / (xN)a = 1 => Lim (xN)a = 1

Об'єднаємо (а) і (б):

xN®1 a> 0

xN1, xN2, ...> 1 (1)

xM1, xM2, ... <1 (2)

Поза будь-який околиці точки 1 лежить кінцеве число точок (1) і кінцеве число точок (2) => кінцеве число точок xN.

в) a <0

(xN)a = 1 / (xN)- a a <0 => -a> 0 => по доведеному для a> 0 отримуємо, Lim 1 / (xN)- a = 1 => Lim (xN) a = 1

18. Доведення формули e = ...

yN=; zN= yN +

1) yN монотонно зростає

2) yNN

3) zN-yN®0

4) zN монотонно убуває

Доказателство:

zN-zN + 1 = yN + - YN + 1 - = + - =

2 = y1NN1= 3

e= Lim yN = Lim zN - По лемі про вкладені проміжках маємо: yN<eN = yN + 1 / (n * n!)

Якщо через qN позначити відношення різниці e - yN до числа 1 / (n * n!), то можна записати e - yN = qN/ (N * n!), Замінюючи yN його розгорнутим виразом отримуємо e = yN + qN/ (N * n!), QI (0,1)

число eірраціонально:

Доказ (від протилежного): Нехай e= M / n, mIZ, nIN

m / n = e= yN + qN/ (N * n!)

m * (n-1)! = yN * N! + qN/ N, де (m * (n-1)! & YN * N!) IZ, (qN/ N) IZ => протиріччя



Підпослідовності. Теорема Больцано-Вейєрштрасса. | Односторонні межі. Класифікація розривів. Визначення безперервності.

Рахункові і незліченні безлічі. Счетності безлічі раціональних чисел. | Визначення дійсного числа нескінченної десятковим дробом. Щільність Q в R. | Теорема Дедекинда про повноту R | Верхні і нижні межі числових множин. | Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності. Їх властивості. | арифметика меж | Визначення границі послідовності і його єдиність. | Лемма про вкладені проміжках | Арифметика меж функцій. Порядкові властивості меж. | Теорема про проміжному значенні безперервної функції. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати