На головну

Тема 1.2 Системи лінійних рівнянь

  1. CRM-системи. Визначення, призначення та особливості.
  2. D) формування системи соціологічної освіти
  3. ERP -, MRP - системи. Визначення, призначення та особливості
  4. I етап реформи банківської сістемиотносітся до 1988-1990 рр. (Підготовчий).
  5. lt; question> Яке з перерахованих умов є головним для існування демократичної політичної системи?
  6. N Під елементом будемо розуміти складову частину складної системи, яка може характеризуватися самостійними вхідними та вихідними параметрами.
  7. N Технологічні системи мають властивості, які полегшують завдання забезпечення встановлених показників якості її функціонування.

Ключові поняття: загальний вигляд системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), матриця системи, рішення системи; правило Крамера рішення СЛАР, метод Гаусса Рішення СЛАР.

Системою m лінійних рівнянь з n невідомими називається система виду

де aij и bi (i= 1, ...,m; b= 1, ...,n) - Деякі відомі числа, а x1, ..., Xn - Невідомі. У позначенні коефіцієнтів aij перший індекс i позначає номер рівняння, а другий j - Номер невідомого, при якому стоїть цей коефіцієнт.

Коефіцієнти при невідомих будемо записувати у вигляді матриці,

яку назвемо матрицею системи.

Числа, які стоять в правих частинах рівнянь, b1, ..., Bm називаються вільними членами.

сукупність n чисел c1, ..., Cn називається рішенням даної системи, якщо кожне рівняння системи звертається в рівність після підстановки в нього чисел c1, ..., Cn замість відповідних невідомих x1, ..., Xn.

Наше завдання полягатиме в знаходженні рішень системи. При цьому можуть виникнути три ситуації:

1. Система може мати єдине рішення.

2. Система може мати безліч рішень. Наприклад,. Рішенням цієї системи є будь-яка пара чисел, що відрізняються знаком.

3. І третій випадок, коли система взагалі не має рішення. Наприклад, якщо б рішення існувало, то x1+ x2 одно б одночасно нулю і одиниці.

Система лінійних рівнянь, що має хоча б одне рішення, називається спільної. В іншому випадку, тобто якщо система не має рішень, то вона називається несумісною.

Розглянемо методи знаходження рішень системи.

1. Правило Крамера.

Дана систему 3-х лінійних рівнянь з трьома невідомими:

Визначник третього порядку, відповідний матриці системи, тобто складений з коефіцієнтів при невідомих,

називається визначником системи.

Складемо ще три визначника наступним чином: замінимо в визначнику D послідовно 1, 2 і 3 стовпці стовпцем вільних членів

Тоді можна довести наступний результат.

Теорема (правило Крамера). Якщо визначник системи ? ? 0, то дана система має одне і тільки одне рішення, причому

2. Метод Гаусса. Правило Крамера можна застосовувати при вирішенні лише тих систем, в яких число рівнянь збігається з числом невідомих, причому визначник системи повинен бути відмінний від нуля. Метод Гаусса є більш універсальним і придатний для систем з будь-яким числом рівнянь. Він полягає в послідовному виключенні невідомих з рівнянь системи.

Знову розглянемо систему з трьох рівнянь з трьома невідомими:

.

Перше рівняння залишимо без зміни, а з 2-го і 3-го виключимо складові, які містять x1. Для цього друге рівняння розділимо на а21 і помножимо на -а11, А потім складемо з 1-им рівнянням. Аналогічно третє рівняння розділимо на а31 і помножимо на -а11, А потім складемо з першим. В результаті вихідна система набуде вигляду:

Тепер з останнього рівняння виключимо доданок, що містить x2. Для цього третє рівняння розділимо на, помножимо на і складемо з другим. Тоді матимемо систему рівнянь:

Звідси з останнього рівняння легко знайти x3, Потім з 2-го рівняння x2 і, нарешті, з 1-го - x1.

При використанні методу Гаусса рівняння при необхідності можна міняти місцями.

Часто замість того, щоб писати нову систему рівнянь, обмежуються тим, що виписують розширену матрицю системи:

і потім приводять її до трикутного чи діагонального вигляду за допомогою елементарних перетворень.

К елементарним перетворенням матриці відносяться такі перетворення:

1. Перестановка рядків або стовпців;

2. Множення рядка на число, відмінне від нуля;

3. Додаток до одного рядка інші рядки.

Питання для самоконтролю:

1. Запишіть загальний вигляд системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР).

2. Вкажіть, що називається матрицею системи?

3. Сформулюйте правило Крамера для розв'язання СЛАР.

4. Складіть алгоритм рішення СЛАР методом Гауса.




Тема 1.1 Матриці і визначники | Тема 2.2 Межі та безперервність

Розділ 1. Лінійна алгебра | Тема 3.1 Похідна функції | Тема 3.2 Додаток похідною | Визначення. Точки максимуму і мінімуму функції називаються точками екстремуму. | Тема 4.1 Невизначений інтеграл | Тема 4.2 Визначений інтеграл | Розділ 5. Комплексні числа | Геометрична інтерпретація комплексного числа |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати