Головна |
Знову зупинимося на разі действітельнозначной функції двох змінних.
Визначення. Приватним збільшенням функції в точці, відповідним приросту змінної називається величина
.
Аналогічно визначається частка приріст
.
Визначення. Приватної похідною функції по змінній в точці називається границя (якщо він існує)
.
Аналогічно визначається похідна по змінної:
.
Зв'язок між безперервністю, диференціюється і існуванням її приватних похідних.
Теорема. Якщо функція диференційовна в точці, то у неї існують обидві приватні похідні, причому
.
Доведення. Так як функція диференційована в точці, то
,
а якщо, то
,
тому
.
аналогічно отримуємо
.
З існування приватних похідних безперервність і дифференцируемость функції, взагалі кажучи, не випливає, що ми продемонструємо на наступному прикладі.
Приклад. Розглянемо функцію двох змінних
.
Ця функція, як нам відомо, розривна в нулі, а, отже, і не диференційована в ньому. Проте, маємо
.
Аналогічно можна показати, що.
Справедлива, однак, наступна теорема.
Теорема. Нехай функція неперервна разом зі своїми приватними похідними в околі точки. Тоді вона буде диференційована в цій точці.
Доведення. Уявімо повний приріст функції у вигляді
.
Кожна з цих різниць представляє приватна приріст функції лише по одній змінній. Застосовуючи до кожної з цих різниць формулу кінцевих збільшень, отримаємо
.
З безперервності приватних похідних в околиці точки випливає, що
,
,
де - нескінченно малі функції при. Використовуючи отримані вирази, отримаємо
.
Зв'язок між дифференцируемого і безперервністю функції. | Похідні і диференціали вищих порядків.