Головна

Приватні похідні функції декількох змінних.

  1. I. Поняття мистецтва і його соціальні функції. Види і жанри.
  2. I. Поняття мистецтва і його соціальні функції. Види і жанри.
  3. III. 1.7. ПСИХОЛОГІЧНА ДІАГНОСТИКА І КОРЕКЦІЯ ПРИ ПОРУШЕННЯХ СЛУХОВИЙ ФУНКЦІЇ У ДІТЕЙ
  4. III. ФУНКЦІЇ ЩО ДІЮТЬ ОСІБ
  5. III.1.3. ПРИЧИНИ ПОРУШЕНЬ СЛУХУ. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГІЧНА КЛАСИФІКАЦІЯ ПОРУШЕНЬ СЛУХОВИЙ ФУНКЦІЇ У ДІТЕЙ
  6. IMG O Збут O Основні функції O Маршрути O Визначення маршруту O Визначення маршрутів і етапів
  7. The funcions of the verb TO DO. Функції дієслова to do

Знову зупинимося на разі действітельнозначной функції двох змінних.

Визначення. Приватним збільшенням функції в точці, відповідним приросту змінної називається величина

.

Аналогічно визначається частка приріст

.

 Визначення. Приватної похідною функції по змінній в точці називається границя (якщо він існує)

.

 Аналогічно визначається похідна по змінної:

.

Зв'язок між безперервністю, диференціюється і існуванням її приватних похідних.

Теорема. Якщо функція диференційовна в точці, то у неї існують обидві приватні похідні, причому

.

Доведення. Так як функція диференційована в точці, то

,

а якщо, то

,

тому

.

аналогічно отримуємо

.

З існування приватних похідних безперервність і дифференцируемость функції, взагалі кажучи, не випливає, що ми продемонструємо на наступному прикладі.

Приклад. Розглянемо функцію двох змінних

.

Ця функція, як нам відомо, розривна в нулі, а, отже, і не диференційована в ньому. Проте, маємо

.

Аналогічно можна показати, що.

Справедлива, однак, наступна теорема.

Теорема. Нехай функція неперервна разом зі своїми приватними похідними в околі точки. Тоді вона буде диференційована в цій точці.

Доведення. Уявімо повний приріст функції у вигляді

.

Кожна з цих різниць представляє приватна приріст функції лише по одній змінній. Застосовуючи до кожної з цих різниць формулу кінцевих збільшень, отримаємо

.

З безперервності приватних похідних в околиці точки випливає, що

,

,

де - нескінченно малі функції при. Використовуючи отримані вирази, отримаємо

.

Зв'язок між дифференцируемого і безперервністю функції. | Похідні і диференціали вищих порядків.

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати