На головну

Почала »Евкліда

  1. алгоритм Евкліда
  2. РОЗПОДІЛ многочленів. Алгоритм Евкліда

Аксіоматичний метод побудови геометрії вперше був використаний Евклидом в його знаменитому трактаті з тринадцяти книг, який він назвав «Начала». «Начала» Евкліда більше двох тисяч років вважалися ідеалом побудови будь-якої наукової теорії.

Про життя Евкліда збереглися дуже скупі відомості. Відомо, що він жив за царя Птолемея і викладав математику в Олександрії. До цього часу працями багатьох давньогрецьких вчених, попередників і сучасників Евкліда, було накопичено чимало розрізненого геометричного матеріалу. І цей розрізнений матеріал треба було з'єднати в єдине ціле, щоб вийшло струнке будівля, ім'я якому «Геометрія». Таке «архітектурне» оформлення геометрії як науки і виконав Евклід у своїх знаменитих «Засадах». Крім «Почав», він писав наукові твори під назвами «Дані», «Про розподіл фігур», «Оптика», «Конічні перетини» (останнє до нас не дійшло). Евклід займався також астрономією і залишив після себе астрономічний трактат.

Всі 13 книг «Начал» Евкліда побудовані за єдиним планом на основі дедуктивного методу викладу. Хоча «Начала» написані як науковий трактат, протягом кількох століть вони були чи не єдиним керівництвом, за яким навчалася молодь. І це вийшло не тому, що не було інших книг з геометрії. Були, наприклад, «Начала» таких давньогрецьких авторів як Леон, Февда Магнезійскій. Але вони, як правило, не могли конкурувати з «Початками» Евкліда, так як значно поступалися їм в дохідливості і простоті викладу, і, природно, рано чи пізно були забуті. Про колосальному авторитеті «Начал» Евкліда можна судити по тому факту, що слова «Евклід» і «геометрія» стали мало не синонімами. Протягом кількох століть, коли вимовляли слово «Евклід», мали на увазі слово «геометрія».

Вище зазначалося, що «Начала» Евкліда протягом кількох століть вважалися вершиною наукової строгості. Недарма Евклід мав так багато наслідувачів, які переписували його «Начала» на різні мови і вирішувалися тільки коментувати їх і робити пояснення, не піддаючи форму і зміст більш-менш принциповою критиці.

Знайшлися філософи, які звели «Начала» Евкліда в абсолют, тобто в непогрішиме вчення про властивості навколишнього нас реального простору. «Начала» Евкліда уважно вивчав Ісаак Ньютон (1643 - 1727) і на основі їх побудував свою механіку, яку прийнято тепер називати класичною. «Начала» Евкліда добре вивчив і Лобачевський, визнавши їх абсолютно вірними і правильно відображають реальний простір, але далеко не повними і в даному разі довільними. Німецький філософ Іммануїл Кант (1724-1804) вважав, що аксіоми «Начал» Евкліда носять чисто апріорне (позадослідні) характер, тобто не залежить від досвіду людей і розвитку людського суспільства.

Все, що викладається в «Засадах» Евкліда, в даний час називається «евклідової геометрією». Наскільки велику славу здобули «Начала» Евкліда, можна судити хоча б по тому, що в Англії до XX в. вважалося «модою» вивчати геометрію по першоджерела, тобто за деякими книгам «Начал» Евкліда. Більше того, всі сучасні підручники мало не дослівно копіюють Евкліда або написані під великим його впливом. Це вплив в тій чи іншій мірі відчувається і в наших шкільних підручниках геометрії.

Було б неправильно стверджувати, що «Начала» Евкліда містять все, що знали древні греки по геометрії. Їх знання з геометрії простягалися значно далі. «Начала» Евкліда, висловлюючись сучасною термінологією, містять матеріал, що відноситься тільки до елементарної геометрії, і зовсім не містять матеріалу вищої геометрії. Наприклад, вчення про конічні перетини Евклід не включив в свої «Начала», а написав на цю тему спеціальний трактат.

Зміст «Начал» Евкліда.

В першій книзі викладаються умови рівності трикутників, теорії паралельних ліній, співвідношення між сторонами і кутами трикутників, вчення про площі трикутників і паралелограмів, доводиться теорема Піфагора в її геометричній формулюванні.

У другій книзі - Геометрична алгебра, що складається з цілого ряду алгебраїчних тотожностей, доказуваних геометричним способом. Закінчується книга геометричній теорією рішення квадратних рівнянь.

У третій - Вчення про коло і колу, про січних і дотичних і про кути, утворених ними, а також про ступінь точки щодо кола.

У четвертій - Вчення про вписаних і описаних многоугольниках, а також побудова правильних багатокутників (чотирикутника, п'ятикутника і пятнадцатіугольніка).

У п'ятій - В геометричній формі викладається теорія раціональних і ірраціональних чисел, включаючи і основні дії над ними, а також дається геометрична теорія пропорцій по Евдоксу, якій стародавні греки володіли досконало.

У шостий - Вчення про подібні фігури і рішення на відшукання пропорційних величин, розширення геометричній алгебри, застосування теорії пропорцій, викладеної в п'ятій книзі.

У сьомий, восьмий і дев'ятий книгах - Геометрична теорія чисел, що містить вчення про найбільшому загальному дільнику і найменшому кратному (сьома книга), а також вчення про безперервних пропорціях, що відносяться до числам, і вчення про співвідношення між другими і третіми ступенями чисел (восьма і дев'ята книги). У цих книгах представлена ??відома теорема Евкліда про нескінченність безлічі простих чисел, яка доводиться методом від противного, а також теорема про парних досконалі числа.

У десятій книзі - Подальший виклад геометричній алгебри, що включає в себе вчення про несумірні величини, і квадратичні ірраціональності.

В одинадцятій, дванадцятій та тринадцятій книгах - Стереометрія, що складається з розгляду завдань на визначення ставлення площ кіл, обсягів пірамід та інших тіл, причому, при вирішенні цих питань використовується метод вичерпання Евдокса (одинадцята і дванадцята книги). «Начала» Евкліда закінчуються вивченням правильних багатогранників, до яких відносяться четирехграннік (тетраедр), обмежений чотирма правильними трикутниками; восьмигранник (октаедр), обмежений вісьмома правильними трикутниками; двадцатигранник (ікосаедр), обмежений двадцятьма правильними трикутниками; шестигранник (гексаедр), обмежений шістьма квадратами (куб); двенадцатигранник (додекаедр), обмежений дванадцятьма правильними п'ятикутниками.



Значення аксіоматичного методу для розвитку математики | ВИЗНАЧЕННЯ

аксіоматичний метод | Суть сучасного аксіоматичного методу полягає в наступному. | Введемо понятіеравносільності систем аксіом. | Спроби докази V постулату | Дослідження Саккери, Ламберта, Лежандра. | Наведемо деякі теореми узагальнюючі дослідження вище названих вчених. | Абсолютна одиниця довжини в геометрії Лобачевського | Народження неевклідової геометрії | Виникнення сучасної аксіоматики. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати