Головна

Вектор з n-мірного векторного простору називається пропорційним вектору, якщо існує таке число k, що.

  1. A або a обов'язкові для кожної казки досліджуваного класу. Інших форм зав'язок не існує.
  2. C.) Число 2 відповідає определителю
  3. I ЩО ТАКЕ КАПІТАЛІЗМ?
  4. ID файлового простору (file space ID, FSID)
  5. II закон Ньютона у векторній та координатній формі
  6. W - величезне число (в 1 молі - 6,02-1023) частинок, тому використовують lnW.
  7. XI. Топографічна анатомія і оперативна хірургія поперекової ділянки і заочеревинного простору

Узагальненням поняття пропорційності векторів служить таке поняття: вектор називається лінійною комбінацією векторів, якщо існують такі числа, що

Система векторів називається лінійно залежною, Якщо хоча б один з цих векторів є лінійною комбінацією інших векторів, і лінійно незалежної - В протилежному випадку.

Це визначення можна дати в іншому вигляді, а саме: система векторів лінійно залежна, якщо існують такі числа, хоча б одне з яких відмінно від нуля, що має місце рівність.

Цілком очевидно, що система векторів, що містять два пропорційних вектора або нульовий вектор, лінійно залежна.

Ранг матриці.

Рядки або стовпці будь-якої матриці можна розглядати як сукупність векторів. Тому до рядках і стовпцях матриці може бути застосовано вищевикладене поняття лінійної залежності.

рангом будь-яка матриця називається число лінійно-незалежних рядків (або стовпчиків), що містяться в цій матриці. Іншими словами, рангом матриці А називається максимальний порядок відмінного від нуля мінору цієї матриці. Ранг матриці позначається r (A). Як результат такого визначення ми маємо:

1. Ранг матриці дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли розглядається нульова матриця. У всіх інших випадках ранг матриці являє собою позитивне число.

2. Ранг прямокутної матриці не перевищує меншого з величин: кількість рядків і кількість стовпців матриці.

3. Ранг квадратної матриці дорівнює її порядку або менше його.

4. якщо r (A) = r, Тоді матриця А містить принаймні один ненульовий мінор порядку r, А всі мінори більш високого порядку ніж r, Дорівнюють нулю.

5. Якщо ранг квадратної матриці порядку n, менше її порядку, то у такої матриці не існує зворотній, а її визначник дорівнює нулю.

6. Ранг нульової матриці дорівнює нулю, а ненульовий матриці-рядка (або стовпця) дорівнює одиниці.

Розглянемо один з методів визначення рангу матриці, заснований на четвертому слідстві з його визначення. Цей метод носить назву методу облямівки і полягає в знаходженні ненульового мінору максимального порядку. При обчисленні рангу матриці за допомогою цього методу переходять від мінорів менших порядків (починаючи з миноров першого порядку, тобто елементів матриці.) До минорам високих порядків, дотримуючись наступного правила: нехай знайдений мінор r-го порядку М , Відмінний від нуля; тоді потрібно обчислити лише мінори (R + 1)-го порядку, оздоблюють даний мінор М . Якщо всі ці мінори дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює r; якщо ж хоча б один з них відмінний від нуля, то цю операцію слід застосувати до нього, причому в цьому випадку ранг матриці свідомо більше r.

приклад 1.Методом облямівки знайти ранг матриці

a) Виберемо мінор першого порядку, що не рівний нулю:

b) Знайдемо окаймляющий мінор другого порядку, рівний нулю:

c) Розглянемо всі мінори третього порядку, оздоблюють мінор, для чого складемо мінори з 2,3 і 4-й рядків:

так як в цих мінор 3-тя рядок дорівнює сумі 1-го рядка і подвоєною 2-й.

Оздоблюють мінори з 1, 2 і 3-й рядків також дорівнюють нулю, так як 1-я і 2-я рядки однакові. Оскільки всі мінори третього порядку дорівнюють нулю, то всі мінори вищих порядків також дорівнюють нулю. Таким чином, ранг матриці дорівнює 2, так як порядок максимального ненульового мінору дорівнює 2.

Ранг матриці можна знайти за допомогою елементарних перетворень матриці не змінюють її рангу. До таких перетворень відносяться:

1. перестановка двох рядків (стовпців);

2. множення рядка (стовпчика) на деяке число;

3. поповнення лише до рядку (стовпцю) інший, помноженої на якесь число k, Не рівне нулю;

4. виключення з матриці рядка (стовпчика), що складається з нулів;

5. виключення з матриці рядка (стовпчика), що є лінійною комбінацією інших рядків (стовпців)

Приклад 2. Застосовуючи елементарні перетворення, знайти ранг матриці

Опишемо вироблені елементарні перетворення матриці:

a) 1-й стовпець додамо до 4-му, а потім, послідовно множачи його на (-2) і (-3), додамо відповідно до 2-го і 3-му стовпцях.

b) Виключимо 2-й і 3-й стовпці, так як вони виходять з 4-го стовпця множенням на (-5). Уже на цьому етапі очевидно, що ранг отриманої матриці дорівнює 2, так як існує ненульовий мінор рівний 2. Це мінор, що складається з перших двох рядків.

Перетворення матриці проте можна продовжити

c) Спочатку 1-й рядок додамо до 2-ї, а потім послідовно помноживши на (-3) і 3, додамо відповідно до 3-ї і 4-ї рядках.

d) Спочатку 3-ю рядок додамо до 2-ї, а потім, помноживши її на 2 додамо до 4-му рядку.

e) Виключимо нульові рядки. Визначник останньої матриці не дорівнює нулю. Рядки її лінійно незалежні. Таким чином, ранг цієї матриці дорівнює двом.

Всі вищевикладені поняття необхідні для вирішення питання про спільності системи лінійних рівнянь. Нехай дана система лінійних рівнянь:

 (1)



Лінійна залежність векторів. | Матрицею системи (1) називається матриця, складена з коефіцієнтів при невідомих цієї системи.
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати