На головну

Первісна для функції і невизначений інтеграл від неї.

  1. I. Поняття мистецтва і його соціальні функції. Види і жанри.
  2. I. Поняття мистецтва і його соціальні функції. Види і жанри.
  3. III. 1.7. ПСИХОЛОГІЧНА ДІАГНОСТИКА І КОРЕКЦІЯ ПРИ ПОРУШЕННЯХ СЛУХОВИЙ ФУНКЦІЇ У ДІТЕЙ
  4. III. ФУНКЦІЇ ЩО ДІЮТЬ ОСІБ
  5. III.1.3. ПРИЧИНИ ПОРУШЕНЬ СЛУХУ. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГІЧНА КЛАСИФІКАЦІЯ ПОРУШЕНЬ СЛУХОВИЙ ФУНКЦІЇ У ДІТЕЙ
  6. IMG O Збут O Основні функції O Маршрути O Визначення маршруту O Визначення маршрутів і етапів
  7. The funcions of the verb TO DO. Функції дієслова to do

Вранці і ввечері, при сході й заході можна робити соляризацію очей на сонці з відкритими очима. Ще раз, соратники, поясню. Дивитися навіть на призахідне / сонце, що сходить не треба, а от зробити вправи - «Великі повороти» і соляризацію, або через дерева ось так от постояти з відкритими очима на висхідний - а воно ласкаве сонце - це дуже і дуже корисно.

Увага!!! Після кожної соляризації робимо пальминг стоячи в два рази довше, ніж соляризація, до повного заспокоєння зору. Значить, коли ви зробили соляризацію, очі закриті, повертаєтеся спиною до сонечка, потерли руки, зробили пальминг. При цьому обов'язково лікті вперлися собі в груди, злегка голову нахилили вперед, і ноги на ширині плечей, тихенько погойдується, з ноги на ногу, розслабляєтеся, думаєте про щось добре, поки у вас не пропадуть в очах зайчики. Зайчики заспокоїлися, пропали, все - поморгай очками - ви зробили соляризацію на сонці.

Значить, завтра, соратники, буде сонячна погода - 3-4 рази поробіть соляризацію. І з «Великими поворотами» поробіть на сонечку, і через дерева або з-за рогу будинку з «ведмежу погойдуваннями» поробіть соляризацію і зробіть пальминг. І ви самі побачите, наскільки це потужне і прекрасна вправа.

А зараз все прибрали з рук, потерли все руки до тепла і зробили пальминг. [Від автора сайту: труть долоні, сідають] Отже, очі все закрили, заспокоїлися, розслабилися, взяли все зручну позу, лікті обов'язково стоять на чомусь твердому, очі у всіх закриті, заспокоїлися, розслабилися, починаємо наш вечірній пальминг. Починаємо розслаблення м'язів наших очей.

Наші очі хороші, наші очі відпочивають, з кожним днем ??наші очі бачать все краще і краще. М'язи наших очей розслабляються. Розслабляються косі м'язи очей, очі стають круглими, кульками, вони будуть прекрасно бачити вдалину без жодних окулярів. Розслабляються прямі м'язи очей, вони дозволять нашим очках легко-легко витягуватися вперед «огірочками» і прекрасно бачити зблизька без жодних окулярів. Розслабляється сітківка наших очей, розслабляються світлочутливі клітини - колбочки, палички, розслабляються клітини зорового нерва, розслабляються клітини зорового аналізатора в мозку. Весь наш зоровий тракт розслаблений.

Сьогодні ми зробили ще один рішучий крок у справі руйнування програм шкідливих звичок у нашій свідомості і підсвідомості. Ми ходимо на заняття в Народний Університет, набираємося знань, умінь для того, щоб допомогти собі очистити свідомість, душу, тіло, позбутися шкідливих звичок, хвороб, відновити своє здоров'я, зір; а також ми ходимо для того, щоб, освоївши психоаналіз Шичка і метод Бейтса, навчитися допомагати іншим людям.

Сьогодні будинки, ввечері перед сном нас чекає велика робота по очищенню свідомості, душі, тіла - це обливання за системою Іванова. Після цього ми согреемся, одягнемо на себе щось тепле і виконаємо домашнє завдання: відповімо на питання Анкети алкогольної, відповімо на питання Щоденника корекції зору №2. Чим більш повно і докладно ми відповімо на питання Анкети і Щоденника, тим швидше ми запустимо процес руйнування хибних програм і формування програм нових.

В кінці Щоденника ми обов'язково напишемо 27-й пункт - Самонавіювання. І пам'ятайте, соратники, що кожен рядок Щоденника, кожна формула Самонавіювання - це руйнівний удар по будівлі помилкової програми з одного боку, а з іншого боку - це паля в фундаменті нової програми, гідної розумної людини, програми тверезої здорового життя, життя з прекрасним зором . В кінці Самонавіювання ми напишемо три магічних слова: «Життя! Зір! Життя! »

А зараз зверніть увагу, якщо перед очима ще є залишкові світлові образи, якийсь туман, хмарки, щось незрозуміле - ось тут треба уявити щось однорідне чорне, темне: Чорний оксамитовий завісу в театрі, чорне оксамитове плаття, або можна подумки взяти в руки пензлик з тушшю і позамазивать ці світяться місця.

І друга вправа, дуже важливе, під пальмінгом - це уявне спогад, приємний спогад. Згадати доброго хорошу людину, приємну зустріч з ним, приємна подорож, згадати добру справу, яку ви робите людям. Ось це приємний спогад дуже сильно розслабляє психіку, м'язи, м'язи обличчя, м'язи очей. А розслаблення дасть відмінний зір очам. Це основа методу Бейтса - розслаблення. А потім вже йде тренування ослаблених окорухових м'язів.

Не забувайте, соратники, як можна частіше знімати окуляри в кишеню, робити вправи на відновлення центральної фіксації, 3-4 рази завтра постарайтеся зробити соляризацію очей на сонечку, Заплануйте собі щогодини робити пальминг, Давати відпочинок своїм очам, і 5-6 раз завтра зробити вправи на рухливість очей (комплекс вправ, який ми з вами сьогодні розучували).

Зверніть увагу, на цьому листочку намальована схема роботи очі, і намальовані шість окорухових м'язів, як вони розташовані. Кожен повинен зрозуміти - які у нього м'язи напружені, які ослаблені, які йому м'язи розслабляти, а які м'язи тренувати.

А зараз запам'ятовуйте вихід з пальминга. У всіх очі закриті, долоньки на носі, всі випростались [від автора сайту: випростались - значить, перестали упиратися ліктями, випростались, тримаємо лікті на вазі]. Все під долоньками очі злегка замружили-послабили, замружили-послабили, замружили-послабили. У всіх очі закриті, долоньки зняли, і все носом - із закритими очима, з закритими обов'язково очима - носом намалювали на дошці велику друковану букву Ш, букву Б, літери М, Н, К, і букви И, М, Б, Ш. перша, друга і третя рядки перевірочної таблиці - намалювали їх носом. А тепер очі, як діти, протерли, витер їх тихенько кулачками, зітхнули глибоко, видихнули, і відкриваємо очі, швидко-швидко моргаємо. Поморгали-поморгали-поморгали-поморгали-поморгали-поморгали-поморгали.

Окуляри ніхто не одягає на ніс, навіщо - це шкідлива звичка. Подивилися всі один на одного ще раз, подивилися на зал, поморгай, подивилися на мене. Подивилися, поморгай на табличку перевірочну. Поморгай-поморгай-подивилися. А зараз давайте трошки пограємо очками.

Короткозорі прикрили повіки і «китайські оченята» розтягнули і подивилися на табличку. Хтось побачить вже рядок, хтось дві, хтось три рядки побачить. Притискуєте ви століттями очі, робите більш круглими таким чином, і вони бачать краще. Поморгай, вистачить.

А зараз пошукаємо астігматічние точки. Все закрили ліве око долонею, а правим оком дивимося, і тихесенько його знизу притиснули, тихесенько збоку притиснули, зверху, зсередини - і ось ви знайдете крапочку, на яку ви натискаєте - очей весь час дивиться, ви даремно, навіщо ви тикаєте його, ви натисніть і дивіться, притисніть і подивилися, тепер трохи поруч притиснули і подивилися - і ось ви десь знайдете точку, притисне і він відразу краще бачить. Ось ця цяточка називається астігматічная. Якщо хтось її не знайшов, до мене підійдете - я вам зараз миттєво її, цю точку, покажу на ваших очах. У всіх далекозорих і у кого плоский очей - збоку, ця цяточка збоку.

Так, поморгай очками. А тепер все закрили праве око, і на лівому оці подивилися, де у вас астігматічная точка. Ми її не дарма зараз шукаємо, цю точку, тому що завтра ми будемо розучувати масаж очей, і у нас там є масаж астігматічной крапочки, тобто цього місця, і ми його будемо масажувати.

Так, соратники, всі курці виходять на ганок, чекають мене, я вийду отрую вас тютюновим отрутою; всім іншим - до побачення, всього вам доброго.

[Від автора сайту: зйомка далі ведеться на ганку, причому, схоже, не з самого початку, так що пару слів або пропозицій може бути пропущено.] ... Знаєте, отруйність вихлопу автомобіля Камаз. Причому з цих 196 отруйних компонентів, 14 - наркотики. І людина, яка смокче тютюновий дим, він є тютюновим наркоманом, наркоманом тютюновим за цими наркотиків. І ось він нассався цього наркотику, ходить задоволений, веселий, хвилин через 30-40 у нього з організму починає очищатися цей наркотик, виходити. І цей процес, коли у людини починає виходити з організму наркотик, називається наркотичної ламкою. І у тютюнового наркомана починається наркотична тютюнова ломка. Йому погано, йому чогось не так, і ось йому треба піти посмоктати знову цей самий наркотик.

Ось ви бачили, як наркомана в кіно показують, як його ламає, він кричить, кричить і все? Як тільки йому укол роблять він відразу - иии, відразу задоволений і все. Тому що як тільки нова порція наркотику в організм потрапляє, одразу ломка припиняється, починається нове наркотичне отруєння.

Ось давайте візьмемо алкогольного наркомана - алкоголіка, так. Алкоголік з вечора літр в себе залив: погуляв, відпочив, покуражитися, сім'ю поганяв. Вранці він прокидається - що з ним? Болііт, болііт - лежить, він отруївся отрутою алкогольним наркотичним. Але алкоголік знає: від чого захворів, тим і лікуйся. Він знає, у нього 50 грам залишилося. Він їх тільки - хлоп туди, похмелитися - і тут же видужав. Чому? Та тому, що у нього почав виходити отрута - він хворіє, як тільки нову порцію отрути прийняв - все відразу раз, почалося нове отруєння.

Так і ви. Але ж дивіться, алкоголік отруївся літром, а вилікувався від 50 грам. Вам теж не треба весь цілком смоктати тютюн-то, вам все зробити 2-3 смердючих цих вдиху, потрапив наркотик - все, і відразу у вас ломка припиняється. Навіть невелика доза потрапляє, і ломка ... зате більшого отруєння не буде.

Тепер друге питання. До складу тютюнового диму 196 отруйних компонентів входить. [Від автора сайту: звертається до слухачці.] Ви ніколи не курили? Ось ви дайте їй зараз сосануть, вона буде кашляти - очі на лоб вилізуть, правда? Постає питання: а чому ви щось не кашляєте, чому у вас очі на лоб не лізуть? Виявляється, людина, яка курить, він у себе ось цими отрутами вбиває в роті смакові рецептори, які на ці отрути реагують. Але на ваше щастя, в коренях горла, ось тут, у вас залишилися смакові рецептори, які вбиті тютюном. І ось ці-то рецептори і дадуть в мозок сигнал, що так, ось ваш ось цей тютюн і є той самий отрута, про який йде мова.

Увечері ви будете писати самонавіювання, тютюн - отрута, я припиняю себе труїти алкогольним та тютюновим отрутою, а з іншого боку - ви зараз повинні спробувати і зрозуміти, що цей тютюн дійсно і є той самий отрута. Як це робиться, значить, як ви будете це робити. Все наберіть в рот повітря, не в легені, а в рот, надійти щоки і пожуйте, як шматок м'яса. [Від автора сайту: надуває і здуває щоки.] Отлично. А тепер зробили так: набрали в рот повітря, затиснули ніс, закрили очі, закинула голову і пожевали. Очі закрити, закинути вище голову. Пожували повітря. Відмінно все.

Ось зараз те ж саме ви зробите з тютюновим димом. Ви розпалився ось цей, зараз він вже не сигарета називається, а отруйний снаряд. Ви подожгете, розпалився цей отруйний снаряд і наберете як в дитинстві, не в затяжку, повний рот диму. Чи не легкі, а рот. Закриєте рот, затиснете ніс, щоб дим через ніс не виходив, закриєте очі, закинеться якомога вище голову і почнете цей дим жувати. Чотири, п'ять, шість, сім. І цей дим ви починаєте жувати. Причому жуєте його так, щоб цей дим у вас доходив до коренів горла, ось до цих смакових рецепторів, ось до сюди доходив. [Від автора сайту: показує на горло в районі кадика. Слухачка перепитує: «Поступово ковтаючи?»] - Ні, ну тобто трохи його ... щоб він доходив ось тут ось [від автора сайту: дощенту горла], обробив тут, тому що ось ці ось відчувають це отрута, саме ось горлом ви відчуєте, що це - отрута.

І ось ви починаєте жувати: раз, два, три, чотири, п'ять, шість, сім, вісім, дев'ять. Десь на 9-10 жевке різко зміниться смак диму. Він стане неприємним, кислим, ось як недопалок в пісуарі лежить два дня, ось приблизно. Але ви далі жуєте, одинадцять, дванадцять, тринадцять, чотирнадцять, п'ятнадцять - а потім ... цю гидоту заковтнула, видихнули, прокашлятися, а коли ви почнете жувати цей дим, у вас ось тут в коренях горла почне щипати, дерти, позив на кашель - ну зрозуміло, ось ці рецептори, їм же неприємно те, що ви їх цією отрутою обробляєте. І таким чином ви зробите перший смердючий вдих.

Всім роздали по сигареті, у кого немає, це ваша, я її в рот не брав, дайте хто-небудь ще сигарети. [Від автора: розбираються, хто може поділитися сигаретами.] Ні, ви з нами не займаєтеся, вам не можна, інакше ви ще кайф якийсь злам, ось. Отже, все підпалили сигарети, отруйні снаряди, все підпалили. Чи не куримо в затяжку, що не куримо. Підпалили. А тепер все набираємо повний рот диму - рот, нелегкі, а рот. Все набрали, рот закрили, ніс затиснули, очі закрили, закинула голову якомога вище і починаємо жувати. [Від автора: жують, Жданов коригує.] Так, тепер вдихнули цю гидоту. Вдихнули її, ні, не проковтнули, а вдихніть як нормально. Ну що ви, вдихніть і видихніть. Прокашлятися, відмінно, відмінно, є. Ось ви зробили перший смердючий вдих.

Повторили: набрали знову повний рот диму, затиснули ніс, закрили очі і жуємо. Жуємо і відчуваємо, сильніше закиньте голову, і відчувайте, ось він, нікотин, аміак, сірководень, ось до сюди ось він щоб йшов, ось до цього місця щоб він йшов, нікотин, ця гидота. Ну що, жувати треба. Вдихнули цю гидоту, видихнули, так, прокашлятися. Другий зробили вдих смердючий.

Третій вдих, контрольний робимо. Нічого страшного, тихенько робіть. Набрали, закинула, очі закриті головне, жуємо. Як шматок м'яса жуємо. Так, вдихнули цю гидоту, видихнули, прокашлятися. Так, прокашлятися.

А тепер, в четвертий раз ви робите наступне. Робите затяжку, глибоку, ну як перед смертю, в останній раз. Затягнулися на повні легені, але коли ви затяжку закінчили, ви цей дим не видихайте, а дрібним кашлем животом викашляти. Затягнулися і кахи, кахи, кахи, кахи, кахи, кахи. Ну-ка давайте, затягнулися якомога глибше і викашляти цю гидоту. Ось-ось-ось. Отрути нассалися, пригасити акуратно, і ось зараз найголовніше.

Ви берете пачку сигарет, які у вас є, і найголовніше - ви берете і починаєте вести контроль: на пачці сигарет ви пишете: «час 21:15, чотири смердючих вдиху», і далі ходите як проста людина. Курити захотілося - не паліть, я заборонив курити - тільки труїтися. Е ні, труїтися не буду, дай-но я походжу. А до речі, коли хочеться людині палити, це хороший знак - це значить, йде очищення організму, тютюн виходить. До речі, хочеться курити всього два дні. Якщо два дні пройде, то отрута виходить і все далі, ломка припиняється. Але якщо вже хочеться так, що не можете, ось тут деякі не можуть, просить, тоді пішли, від усіх сховалися, пожевали, ковтнути цей дим, потруїлися, прокашлятися, все, записали на пачці, і все. Я кажу, більше трьох днів у мене ніхто не витримував, тобто вже на третій день він вже не лізе, вже блювота починається, кашель, як ось їм [від автора сайту: показує на некурящих], будь-кому, дай сосануть, так і у вас.

І в кінцевому рахунку, але найголовніше, ввечері перед сном писати установку: тютюн - отрута, я припиняю труїти себе алкогольним та тютюновим отрутою, тверезість, здоров'я і так далі. Все, трава на здоров'я. Але тільки не здумайте на публіці. У мене в Сиктивкарі один вранці вийшов, повна натовп зупинка народу, він взяв, відійшов в сторону, о-о, кахи-кахи, ну ці очі витріщили, швидка їхала, зупинили, його заламали, забрали - ну з глузду з'їхав людина. Усе.

Лекція 35. Поняття невизначеного інтеграла. Властивості невизначеного інтеграла. Правила інтегрування. Таблиця інтегралів. Безпосереднє інтегрування.

Інтегральне числення, поряд з диференціальним численням, належить до числа найважливіших складових вищої математики (разом вони складають так званий математичний аналіз). Це обчислення базується на поняттях невизначеного і визначеного інтегралів, введених в математику Ньютоном і Лейбніцем в кінці 17-го століття паралельно з введенням ними ж понять похідних і диференціалів функцій.

Первісна для функції і невизначений інтеграл від неї.

У диференціальному обчисленні ставилося завдання: для даної функції знайти її похідну. В інтегральному численні ставиться зворотна задача: по похідною функції знайти саму функцію.

нехай y = f (x) - Деяка задана функція.

Визначення. Будь-яка функція y = F (x), похідна якої збігається з функцією y = f (x), називається первісною для функції y = f (x). Тобто якщо, то функція буде первісною для функції f (x) f (x) буде похідною від своєї первісної F (x)).

Приклад 1. Функція є первісною для функції, так як.

Відзначимо, що функція - не єдина первісна для функції. Справді, будь-яка функція виду + С, де С - Довільна (невизначена) константа, теж буде первісною для функції. Дійсно,.

І взагалі, якщо F (x) - Первісна для заданої функції f (x), То і всі функції виду F (x) + C, де С - невизначена константа, теж будуть первісних для функції f (x). Дійсно, якщо, то і.

Таким чином, знайшовши якусь первісну F (x) для даної функції f (x), Ми відразу можемо записати для неї і безліч інших первісних:

 F (x) + C (С - невизначена константа) (1)

Більш того, ми зараз доведемо, що вираз (1) дає безліч всіх первісних для функції f (x).

Дійсно, нехай F (x) - Будь-яка конкретна первісна для функції f (x), а - Будь-яка інша первісна для цієї ж функції f (x). Утворюємо нову функцію і знайдемо її похідну:

Як виявилося, ця функція має нульову похідну для будь-кого. Але, як відомо, похідна функції характеризує швидкість зміни функції. Значить, швидкість зміни функції для будь-якого х дорівнює нулю. А це означає, що при зміні х функція не змінюється (зберігає постійне значення). Тобто, де С - Деяка постійна. Таким чином,, звідки. Тобто дійсно будь-яка первісна для функції знаходиться серед функцій (1). Інакше кажучи, безліч функцій (1) дійсно є безліч всіх первісних для функцій. то безліч Лейбніц позначив спеціальним символом

 (2)

і назвав невизначеним інтегралом від функції. Тут знак - знак невизначеного інтеграла; - Підінтегральна функція; - Підінтегральний вираз; - Змінна інтегрування.

Так як вираз (2) - це лише інше позначення виразу (1), то можна записати:

 (3)

Таким чином, відшукуючи (вираховуючи) невизначений інтеграл, ми тим самим шукаємо все Первісні для підінтегральної функції. Тобто шукаємо всі функції, похідні від яких дорівнюють. Ці функції (їх безліч) представляють собою суму конкретної функції (конкретної первісною для) і невизначеною константи С, Якій можна надати будь-яке значення. Через наявність цієї невизначеної константи в рівність (3) і результат обчислення невизначеного інтеграла виявляється невизначеним. Звідси і термін: невизначений інтеграл.

Якщо невизначений інтеграл знайдено вірно (тобто безліч всіх первісних для функції знайдено вірно), то повинно виконуватися перевірочне для (3) рівність:

 (4)

Приклад 2.

 - Вірно, так як.

 - Вірно, так як.

 - Невірно, так як.

Основні властивості невизначених інтегралів.

1. Властивість 1.Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції:

 (5)

Доведення. Використовуючи (3) і (4), отримаємо:

2. Властивість 2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює подинтегрального висловом:

 (6)

Доведення. Згадуючи формулу для знаходження диференціала функції, отримаємо:

3. Властивість 3. Невизначений інтеграл від диференціала функції дорівнює цій функції плюс невизначена константа:

 (7)

Доведення:

.

4. Властивість 4. Знаходження функції по її диференціалу: якщо, то

 . (8)

Доведення. Якщо то . А це означає, що функція є первісною для функції. Але цих первісних для функції є незліченна кількість, і всі вони знаходяться за допомогою обчислення.

Примітка. Функція визначається за формулою (8) неоднозначно - вона визначається з точністю до невизначеної константи С, Яка з'явиться після обчислення. Тому для однозначного визначення функції по її диференціалу потрібно задати деякий додаткову умову для цієї функції. Таким умовою, зокрема, може бути така умова:, де і А - Задані числа.

приклад 3. Знайти функцію, якщо відомо, що і що.

Рішення. Використовуючи (8), отримуємо:

.

Ми отримали безліч функцій:

(С - Невизначена константа).

константу С знайдемо з додатковою умовою:

.

Таким чином, отримуємо остаточно:.

5. Властивість 5. Постійний множник можна виносити за знак невизначеного інтеграла:

(k - Константа, k ) (9)

Доведення. Розглянемо праву частину рівності (9):

,

де - невизначена константа (якщо k ). Таким чином, рівність (9) набуває вигляду:

.

А це рівність вірно, що підтверджує його перевірка:

6. Властивість 6. Невизначений інтеграл від суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) інтегралів від цих функцій:

 (10)

Доведення. Обчислюючи праву частину рівності (10), отримуємо:

 ... = =

=

де

.

Таким чином, що доводиться рівність (10) приймає вигляд:

= F (x) + C

І воно вірно, так як

При обчисленні невизначених інтегралів буває корисно використовувати такі правила:

1. Якщо, то

 . (11)

Дійсно, диференціюючи ліву і праву частини рівності (11), отримаємо:

.

Похідні від правої і лівої частин рівні, що й треба було довести.

2. Якщо, то

 . (12)

3. Якщо, то

 . (13)

Рівності (12) і (13) доводяться дифференцированием правої і лівої частин рівності.

приклад 4. (За формулою 11).

приклад 5. (За формулою 13).

Таблиця основних невизначених інтервалів.

1. 8. =

2. = = X + C 9. = -

3. = + C (n -1) 10. =

4. = 11. = (14)

5. = + C 12. = + C

5 * . ex+ C 13. = + C

6. = 14. = + C

7. = - 15. = + C

Використовуючи перевірку (4) для невизначеного інтеграла (3), легко переконатися в істинності кожного з результатів таблиці (14). Перевіримо, наприклад, перші чотири невизначені інтеграла.

1) - вірно;

2) - вірно;

3) = - Вірно;

4а) Якщо то і (4) набуває вигляду: . А це вірно, так як

4б) Якщо то, і (4) набуває вигляду:. А це вірно, так як.

Цілком аналогічно дифференцированием правій частині можна підтвердити і всі інші рівності в таблиці (14).

приклад 5. Знайти невизначений інтеграл:.

Рішення. Розділивши чисельник підінтегральної функції на знаменник і використавши друге і третє правила інтегрування, а також таблицю основних невизначених інтегралів, отримаємо:

приклад 5. Знайти невизначений інтеграл:.

Рішення.

Таблиця (14) містить лише найбільш прості невизначені інтеграли. Але в математичних довідниках містяться багато сотень (і навіть тисячі) найбільш часто зустрічаються на практиці невизначених інтегралів. До таких довідників відносяться, наприклад, такі:

1. Бронштейн И. Н. і Семендяев К. А. Довідник з математики для інженерів і учнів Втузов. М., «Наука», 1981.

2. Двайт Г. Б. Таблиці інтегралів і інші математичні формули. М. «Наука», 1977.

3. Градштейн І. С. і Рижик І. М. Таблиці інтегралів, сум, рядів і творів. М., «Наука», 1971.

Таким чином, якщо потрібно обчислити певний невизначений інтеграл, то його можна просто пошукати в довіднику. Якщо ж потрібного інтеграла в довіднику немає, то цей інтеграл, так чи інакше, намагаються звести до одного або декількох табличних інтегралів. Про методи такого відомості ми поговоримо в наступному параграфі.

А зараз поки лише відзначимо наступну важливу обставину, пов'язане з інтеграцією функцій (з обчисленням невизначених інтегралів) і відрізняє інтегрування від диференціювання. Похідна будь елементарної функції завжди може бути знайдена, і вона знову ж елементарна функція. А ось невизначений інтеграл немає від будь-якої елементарної функції може бути записаний через елементарні функції виду F (x) + C . Інакше кажучи, не всякий невизначений інтеграл може бути зведений до табличних. А отже, не всякий невизначений інтеграл може бути обчислений в явному вигляді. Такі, що не зводяться до табличних, невизначені інтеграли називаються неберущімся (Бо обчислити невизначений інтеграл - це, на математичному жаргоні, «взяти» інтеграл). Неберущімся є багато, навіть зовсім прості на перший погляд, невизначені інтеграли. Наприклад, такі:

1. - інтеграл Пуассона

2. - інтегральний логарифм (15)

3. - інтегральний косинус.

4. - інтегральний синус.

Ці та інші, що не береться інтеграли не можуть бути знайдені точно. Вони можуть бути знайдені лише наближено. Відповідно до рівністю (3) знаходження невизначеного інтеграла зводиться до знаходження будь-якої первісної для підінтегральної функції. Ось цю первісну для підінтегральної функції можна, використовуючи комп'ютерні методи, підібрати наближено з будь-яким ступенем точності.



лекція 3 | вправи
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати