Головна

Лекція 9.

  1. II. ТЕМАТИКА ЛЕКЦІЙ Лекція 1. Об'єкт, предмет соціології, зв'язок з іншими науками
  2. Безпека життєдіяльності. Оглядова лекція
  3. Вступна лекція
  4. Вступна лекція
  5. ВСТУПНА ЛЕКЦІЯ. СИСТЕМА ПОЗНАЧЕНЬ.
  6. ДВАДЦЯТЬ П'ЯТА Лекція
  7. Демонстраційна лекція

Деякі числові характеристики одновимірних випадкових величин: початкові і центральні моменти, мода, медіана, квантиль, коефіцієнти асиметрії та ексцесу. Числові характеристики двовимірних випадкових величин: початкові і центральні моменти. Кореляційний момент і коефіцієнт кореляції. Коррелированность і залежність випадкових величин.

Визначення 9.1. Початковим моментом порядку kвипадкової величини Х називається матема-тичні очікування величини Xk:

?k = M (Xk). (9.1)

Зокрема, ?1 = М(Х), ?2 = М(Х2). Отже, дисперсія D(X) = ?2 - ?1?.

Визначення 9.2. Центральним моментом порядку kвипадкової величини Х називається мате-автоматично очікування величини (Х - М(Х))k:

?k = M((Х - М(Х))k). (9.2)

Зокрема, ?1 = M(Х - М(Х)) = 0, ?2 = M((Х - М(Х))2) = D(X).

Можна отримати співвідношення, що зв'язують початкові і центральні моменти:

Мода і медіана.

Така характеристика випадкової величини, як математичне очікування, називається іноді характеристикою положення, Так як вона дає уявлення про стан випадкової велич-ни на числової осі. Іншими характеристиками положення є мода і медіана.

Визначення 9.3. модою М дискретної випадкової величини називається її найбільш ймовірне значення, модою Мнеперервної випадкової величини - значення, в якому щільність ймовірності максимальна.

Приклад 1.

Якщо ряд розподілу дискретної випадкової величини Х має вигляд:

Х
р  0,1  0,7  0,15  0,05

то М = 2.

Приклад 2.

Для неперервної випадкової величини, заданої щільністю розподілу, модою є абсциса точки максимуму: М = 0.

Зауваження 1. Якщо крива розподілу має більше одного максимуму, розподіл називається полімодальний, Якщо ця крива не має максимуму, але має мінімум - анти-модальним.

Зауваження 2. У загальному випадку мода і математичне очікування не збігаються. Але, якщо розпо-поділ є симетричним і модальним (тобто крива розподілу симетрична від-вано прямий х = М) І має математичне сподівання, воно збігається з модою.

Визначення 9.4. медианой ме неперервної випадкової величини називають таке її значення, для якого

p( X ) = p( X> Me ). (9.3)

графічно пряма х = Ме ділить площу фігури, обмеженої кривою розподілу, на дві рівні частини.

Зауваження. Для симетричного модального розподілу медіана збігається з математічес-ким очікуванням і модою.

Визначення 9.5. Для випадкової величини Х з функцією розподілу F(X) квантиль порядку р (0 < p <1) називається число Кр таке, що F(Kp) ? p, F(Kp + 0) ? p. Зокрема, якщо F(X) Строго монотонна, Кр: F(Kp) = p.

Асиметрія і ексцес.

Якщо розподіл не є симетричним, можна оцінити асиметрію кривої распреде-лення за допомогою центрального моменту 3-го порядку. Дійсно, для симетричного розподілу всі непарні центральні моменти рівні 0 (як інтеграли від непарних функ-цій в симетричних межах), тому обраний непарний момент найменшого порядку, не тотожне рівний 0. Щоб отримати безрозмірну характеристику, його ділять на ?3 (Так як ?3 має розмірність куба випадкової величини).

Визначення 9.6. коефіцієнтом асиметріївипадкової величини називається

 . (9.4)

Рис.1. Рис.2.

Зокрема, для кривої, зображеної на рис.1, Sk > 0, а на рис.2 - Sk <0.

Для оцінки поведінки кривої розподілу поблизу точки максимуму (для визначення того, наскільки «крутий» буде його вершина) застосовується центральний момент 4-го порядку.

Визначення 9.7. ексцесом випадкової величини називається величина

 (9.5)

Зауваження. Можна показати, що для нормального розподілу, і, відповідно, ех = 0. Для кривих з більш гострою вершиною ех>0, в разі більш плоскої вершини ех < 0.



Рівномірний розподіл на площині. | Числові характеристики двовимірних випадкових величин.

Математичне очікування. | Числові характеристики неперервних випадкових величин. | Стандартні закони розподілу. | Двовимірні випадкові величини. | Дискретної двовимірної випадкової величини. | Кореляційний момент і коефіцієнт кореляції. | Лекція 10. | Математичне сподівання функції одного випадкового аргументу. | Незалежних доданків. | Нормальний закон розподілу на площині. Лінійна регресія. Лінійна кореляція. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати