На головну

Двовимірні випадкові величини.

  1. Абсолютні величини.
  2. Абсолютні величини. Одиниці їх вимірювання. Відносні величини, їх значення і форми вираження.
  3. Б) побудувати рівняння емпіричної лінії регресії і випадкові точки вибірки
  4. ГЛАВА 2. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ
  5. двовимірні масиви
  6. Двовимірні випадкові величини.

1. Дискретні двовимірні випадкові величини.

закон розподілу дискретної двовимірної випадкової величини (Х, Y) має вигляд таблиці з подвійним входом, яка задає перелік можливих значень кожної компоненти і ймовірності p(xi, yj), З якими величина приймає значення (xi, yj):

Y Х
x1 x2  ... xi  ... xn
y1 p(x1, y1) p(x2, y1)  ... p(xi, y1)  ... p(xn, y1)
...  ...  ...  ...  ...  ...  ...
yj p(x1, yj) p(x2, yj)  ... p(xi, yj)  ... p(xn, yj)
 ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...
ym p(x1, ym) p(x2, ym)  ... p(xi, ym)  ... p(xn, ym)

При цьому сума ймовірностей, що стоять у всіх клітинах таблиці, дорівнює 1.

Знаючи закон розподілу двовимірної випадкової величини, можна знайти закони распреде-лення її складових. Дійсно, подія Х = х1 представляється собою суму несумісних подій (X = x1, Y = y1), (X = x1, Y = y2), ..., (X = x1, Y = ym), Тому

р(Х = х1) = p(x1, y1) + p(x1, y2) + ... + p(x1, ym) (В правій частині знаходиться сума ймовірностей, що стоять в стовпці, відповідному Х = х1). Так само можна знайти ймовірності інших можливих значень Х. Для визначення ймовірностей можливих значень Y потрібно скласти ймовірності, що стоять в рядку таблиці, відповідної Y = yj.

Приклад 1. Дан закон розподілу двовимірної випадкової величини:

Y X
 -2
 -0,8  0,1  0,3  0,1
 -0,5  0,15  0,25  0,1

Знайти закони розподілу складових.

Рішення. Складаючи стоять в таблиці ймовірності «по стовпцях», отримаємо ряд розпо-ділення для Х:

Х  -2
р  0,25  0,55  0,2

Складаючи ті ж ймовірності «по рядках», знайдемо ряд розподілу для Y:

Y  -0,8  -0,5
p  0,5  0,5

2. Безперервні двовимірні випадкові величини.

Визначення 8.1. функцією розподілу F(x, y)двовимірної випадкової величини (X, Y) Називається ймовірність того, що X a Y :

F( х, у ) = p ( X ). (8.1)

y

Рис.1.

Це означає, що точка (X, Y) Потрапить в область, заштрихованную на рис. 1, якщо вершина прямого кута розташовується в точці (х, у).

Зауваження. Визначення функції розподілу справедливо як для безперервної, так і для дискретної двовимірної випадкової величини.

Властивості функції розподілу.

1) 0 ? F(x, y) ? 1 (так як F(x, y) Є ймовірністю).

2) F(x, y) Є неубутна функція по кожному аргументу:

F(x2, y) ? F(x1, y), Якщо x2 > x1;

F(x, y2) ? F(x, y1), Якщо y2 > y1.

Доведення. F(x2, y) = p(X 2, Y ) = p(X 1, Y ) + p(x1 ? X 2, Y ) ?

? p(X 1, Y ) = F(x1, y). Аналогічно доводиться і друге твердження.

3) Чи мають місце граничні співвідношення:

а) F(-?, y) = 0; b) F(x, - ?) = 0; c) F(- ?, -?) = 0; d) F(?, ?) = 1.

Доведення. Події а), b) і с) неможливі (так як неможливо подія Х <- ? або Y <- ?), а подія d) достовірно, звідки випливає справедливість наведених рівності.

4) При у = ? функція розподілу двовимірної випадкової величини стає функцією розподілу складової Х:

F(x, ?) = F1(x).

при х = ? функція розподілу двовимірної випадкової величини стає функцією розподілу складової Y :

F(?, y) = F2(y).

Доведення. Так як подія Y < ? достовірно, то F(x, ?) = р(Х ) = F1(x). Аналогічно доводиться друге твердження.

Визначення 8.2. Щільністю спільного розподілу ймовірностей (двумер-ної щільністю ймовірності)безперервної двовимірної випадкової величини називаючи-ється мішана похідна 2-го порядку від функції розподілу:

 . (8.2)

Зауваження. Двовимірна щільність ймовірності є межа відносини ймовірності попадання випадкової точки в прямокутник зі сторонами ?х і ?у до площі цього прямокутника при

Властивості двовимірної щільності ймовірності.

1) f(x, y) ? 0 (див. Попереднє зауваження: ймовірність попадання точки в прямоуголь-ник неотрицательна, площа цього прямокутника позитивна, отже, межа їх відносини неотрицателен).

2) (cледует з визначення двовимірної щільності ймовірно-сті).

3) (оскільки це ймовірність того, що точка потрапить на пло-кістка Проху, Тобто достовірної події).

Ймовірність влучення випадкової точки в довільну область.

Нехай в площині Проху задана довільна область D. Знайдемо ймовірність того, що точка, координати якої є систему двох випадкових величин (двовимірну випадкову величину) з щільністю розподілу f(x, y), Потрапить в область D. Розіб'ємо цю область прямими, паралельними осям координат, на прямокутники зі сторонами ?х і ?у. Ймовірність влучення в кожен такий прямокутник дорівнює, де - координати точки, що належить прямокутнику. Тоді ймовірність попадання точки в область D є межа інтегральної суми, тобто

 (8.3)

Відшукання щільності ймовірності складових

двовимірної випадкової величини.

Вище було сказано, як знайти функцію розподілу кожної складової, знаючи двовимірну функцію розподілу. Тоді за визначенням щільності розподілу

 (8.4)

Аналогічно знаходиться (8.4 ')



Стандартні закони розподілу. | Дискретної двовимірної випадкової величини.

Математичне очікування. | Числові характеристики неперервних випадкових величин. | Рівномірний розподіл на площині. | Лекція 9. | Числові характеристики двовимірних випадкових величин. | Кореляційний момент і коефіцієнт кореляції. | Лекція 10. | Математичне сподівання функції одного випадкового аргументу. | Незалежних доданків. | Нормальний закон розподілу на площині. Лінійна регресія. Лінійна кореляція. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати