На головну

Кванторние операції.

  1. Асептика. Профілактика контактної інфекції. Підготовка рук хірурга до операції.
  2. Асептика. Профілактика контактної інфекції. Підготовка хірургічних інструментів до операції.
  3. Аудит проведення Факторингових операції.
  4. Питання 61: плодоразрушающей операції. Показання, умови, протипоказання, техніка.
  5. Дайте визначення розподілу як логічного операції.
  6. Касові операції. Організація касової роботи. Порядок здійснення касових операцій. Доставка та інкасація готівки.

Розглянемо операції, що перетворюють предикати в висловлювання.

Нехай є предикат р (х) визначений на множині М. Якщо "а" - деякий елемент з безлічі М, то підстановка його замість х в предикат р (х) перетворює цей предикат у вислів р (а). Такий вислів називають одиничним. Наприклад, р (x): "х - парне число" - предикат, а р (6) - справжнє висловлювання, р (3) - хибне висловлювання.

Це саме можна сказати і до n-місцевим предикатам: якщо замість всіх предметних змінних хi, I = підставити їх значення, то отримаємо висловлювання.

Поряд з утворенням з предикатів висловлювань в результаті таких підстановок в логіці предикатів розглядаються ще дві операції, які перетворюють одномісний предикат у вислів. Ці операції називаються операціями квантификации (або просто квантифікації, або зв'язуванням кванторами, або навішуванням кванторів). При цьому розглядаються, відповідно, два типи так званих кванторів.

1. Квантор загальності.

Нехай р (х) - предикат, визначений на множині М. Під виразом розуміють висловлення, щире, коли р (х) істинно для кожного елемента х з безлічі М, і помилкове в іншому випадку. Це висловлювання вже не залежить від х. Відповідне йому словесне вираз звучить так: "Для будь-якого х р (х) істинно".

Символ називають квантором загальності (спільності). Змінну х в предикате р (х) називають вільної (їй можна надавати різні значення з М), в висловлюванні ж х називають пов'язаної квантором загальності.

2. Квантор існування.

Нехай P (x) - предикат певний на безлічі М. Під виразом розуміють вислів, яке є істинним, якщо існує елемент, для якого P (x) істинно, і хибним - у противному випадку. Це висловлювання вже не залежить від x. Відповідне йому словесне вираз звучить так: "Існує x, при якому P (x) істинно." Символ називають квантором існування. У висловлюванні змінна x пов'язана цим квантором (на неї навішені квантор).

Кванторние операції застосовуються і до багатомісним предикатам. Нехай, наприклад, на безлічі М заданий двомісний предикат P (x, y). Застосування кванторного операції до предикату P (x, y) по змінній x ставить у відповідність двомісному предикату P (x, y) одномісний предикат (або одномісний предикат), що залежить від змінної y і не залежить від змінної x. До них можна застосувати кванторние операції по змінної y, які приведуть вже до висловлювань таких видів:

Розглянемо предикат P (x) визначений на множині M = {a1, ..., An}, Що містить кінцеве число елементів. Якщо предикат P (x) є тотожно - істинним, то істинними будуть висловлювання P (a1), P (a2), ..., P (an). При цьому істинними будуть висловлювання і кон'юнкція.

Якщо ж хоча б для одного елемента P (ak) Чи виявиться помилковим, то помилковими будуть висловлювання і кон'юнкція. Отже, справедлива равносильность.

3. Чисельні квантори.

У математиці часто зустрічаються вирази типу "щонайменше n" ( "хоча б n"), "не більше ніж n", "n і тільки n" ( "рівно n"), де n - натуральне число.

Ці вирази, звані чисельними кванторами, мають чисто логічний зміст; вони можуть бути замінені рівнозначними виразами, що не містять числівників і складаються тільки з логічних термінів і знака або ~, що означає тотожність (збіг) об'єктів.

Нехай n = 1. Пропозиція "Щонайменше один об'єкт має властивість P" має таке ж значення, що і пропозиція "Існує об'єкт, що володіє властивістю P", т. Е. (*)

Пропозиція "не більше ніж один об'єкт має властивість P" рівнозначно пропозицією "Якщо є об'єкти, що володіють властивістю P, то вони збігаються", т. Е. (* *) Пропозиція "один і тільки один об'єкт має властивість P" рівнозначно кон'юнкції вищевказаних пропозицій (*) і (* *).

Заперечення пропозицій з кванторами.

Відомо, що часто для заперечення деякого пропозиції досить передувати сказуемому цієї пропозиції негативну частку "не". Наприклад, запереченням пропозиції "Річка х впадає в Чорне море." є пропозиція "Річка х не впадає в Чорне море". Чи годиться цей прийом для побудови заперечень пропозицій з кванторами? Розглянемо приклад.

Пропозиції "Всі птахи літають" і "Все птахи не літають" не є запереченнями один одного, т. К. Вони обидва хибні. Пропозиції "Деякі птахи літають" і "Деякі птахи не літають" не є запереченням одне одного, т. К. Вони обидва істинні. Таким чином, пропозиції, отримані додаванням частки «не» до сказуемому пропозицій "Все х суть Р" і "Деякі х суть Р" не є запереченнями цих пропозицій. Універсальним способом побудови заперечення даної пропозиції є додавання словосполучення "напевно, що" на початку речення. Таким чином, запереченням пропозиції "Всі птахи літають" є пропозиція "Невірно, що всі птахи літають"; але ця пропозиція має таке ж значення, що і пропозиція "Деякі птахи не літають". Запереченням пропозиції "Деякі птахи літають" є пропозиція "Невірно, що деякі птахи літають", яке має таке ж значення, що і пропозиція "Все птахи не літають".

Домовимося заперечення пропозиції записувати як, а заперечення пропозиції - як. Очевидно, що пропозиція має таке ж значення, а отже, те ж значення істинності, що і пропозиція, а пропозиція - таке ж значення, що. Інакше кажучи, рівносильне; рівносильно.

Квантори спільності і існування називають подвійними відносно один одного. З'ясуємо тепер, як будувати заперечення пропозиції, що починається з декількох кванторів, наприклад, такого:.

Послідовно застосовуючи сформульоване вище правило, отримаємо: рівносильно, що рівносильно, що рівносильно.


 



Логічні операції над предикатами. | Вправи.

ведення | Безлічі і операції над ними. | Операції над множинами. | Вправи. | поняття висловлювання | Логічні операції над висловлюваннями. | Складні висловлювання. | Вправи. | Поняття предиката. | Види теорем і їх взаємозв'язок. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати