Головна |
Даний метод виключно зручний для використання на ЕОМ, так як легко програмується, але не завжди дає послідовність значень невідомих, що наближаються до точного розв'язання системи (тобто не завжди сходиться). Проілюструємо його на прикладі системи з трьома невідомими. Якщо коефіцієнти , , і , то систему (1) можна записати в наступному вигляді:
(15)
(16)
(17)
Задамося першим наближенням до вирішення цієї системи, позначивши його , , (зазвичай вибирають). Підставивши цей розв'язок в (15), обчислимо нове значення :
Підставивши знайдене значення та значення в (16), обчислимо нове значення :
Аналогічно:
Цим закінчується перша ітерація. Замінивши значення , , на, , відповідно, повторимо зазначений процес і отримаємо наступне наближення. У загальному випадку, для системи з рівнянь -е наближення до розв'язку системи буде обчислюватися по формулі:
де
Ітерації потрібно повторювати до тих пір, поки всі не стануть досить близькі до . Умова закінчення ітераційного процесу можна задати у вигляді:
,
де - похибка розв'язання.
Ітераційний метод Гауса - Зейделя сходиться в тому випадку, якщо виконуються умови:
для всіх , і по крайній мірі
для одного ,
де - модуль
Іншими словами, кожний діагональний елемент матриці системи повинен бути більше суми елементів відповідної стрічки. Наприклад, для системи:
Оскільки алгоритм методу Гауса-Зейделя нескладний, то його складові при виконанні лабораторної роботи виконуються самостійно.