загрузка...
загрузка...
На головну

Апроксимація зашумлених сигналів поліноміальними функціями за методом найменших квадратів

  1. Алгоритм та числовий приклад розв'язування прямої геодезічної задачі на поверхні еліпсоїда на основе методу допоміжної точки (формул Шрейбера).
  2. Апроксимація диференціального рівняння
  3. Апроксимація диференціального рівняння
  4. Апроксимація зашумлених сигналів поліноміальними функціями
  5. Взаємозв'язок між шістьма функціями складного відсотка
  6. Вибір методу розрахунку штучного заземлювача

(Одномірна поліноміальна регресія)

Початкові дані.

Задана таблиця відліків зашумленного дискретизованого сигналу (дискретна функція).

k       n
     
     

n - кількість відліків сигналу (значень X i і Yi ).

Мета роботи: Створити додаток для апроксимації зашумлених сигналів поліноміальними функціями за методом найменших квадратів (реалізації одномірна поліноміальна регресія). При цьому апроксимуюча функція визначається у вигляді поліноміальної функції

 , (1),

де m - ступінь полінома FQ (X),

 - Коефіцієнти шуканого полінома,

яка буде найбільш близькою до вихідної функції заданої табличними значеннями, т. е. необхідно визначити вектор коефіцієнтів полінома, при якому поліноміальна функція FQ (X) буде найбільш близькою до заданих в таблиці точкам.

Як критерій близькості використовуємо квадратичний функціонал

 , (2)

де - шуканий вектор коефіцієнтів полінома.

Методика вирішення задачі.

Для реалізації методу найменших квадратів як критерій близькості використовуємо квадратичний функціонал (2).

Квадратичний функціонал (2) має один екстремум (мінімум). Мінімум розглянутого квадратичного функціоналу знаходиться з умови рівності нуль всіх приватних похідних функціоналу, т. Е. При. (3)

Приватні похідні визначаються як:

 . . (4)

Прирівнявши нулю приватні похідні

 ,, (5)

отримуємо систему лінійних рівнянь у вигляді

 , (6)

де матриця коефіцієнтів рівняння (матриця Грамма),

 - Вектор правих частин системи рівнянь.

 (7)

Шукані коефіцієнти аппроксимирующего полінома (вектор) отримуємо шляхом вирішення системи лінійних рівнянь (6). У матричному вигляді вектор визначається як:

 (8)

Для пошуку параметрів аппроксимирующего полінома можна використовувати функції Excel. В Excel є матричні функції:

МОБР - зворотна матриця

МУМНОЖ - множення матриць.

Для вирішення системи рівнянь в Excel в осередку листа вводяться елементи матриці Аі вектора G.Потім мишкою виділяється діапазон комірок, де розташовується вектор параметрів апроксимації, і вводиться формула = МУМНОЖ (Мобрей (Діапазон А); Діапазон G).

Потім натискається комбінація клавіш [ + + ].

У діапазоні осередків, куди була введена формула, з'являться шукані значення параметрів апроксимації.

Якість апроксимації будемо оцінювати квадратичним критерієм близькості. При цьому будемо оцінювати середньоквадратичним значенням ?? відхилення значень полінома в заданих точках Xi від заданих в таблиці значень Yi .

 . (9)

 



Спецглави інформатики | Порядок виконання курсової роботи
загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати