На головну

Якщо - простий корінь характеристичного рівняння, то приєднана матриця містить хоча б один ненульовий стовпець, якому відповідав би власний вектор.

  1. A) банкноти в обігу, вклади комерційних банків, депозити уряду, зобов'язання по зарубіжних операцій, власний капітал банку;
  2. C.) Число 2 відповідає определителю
  3. E) якому пред'явлено звинувачення.
  4. L Якщо тиск в шинах не відповідає стандарту, скутер може потрапити в аварію.
  5. SWOT- матриця
  6. VI. Вирішити диференціальні рівняння
  7. VIII. Вкажіть номери пропозицій, в яких ing-форма відповідає в російській мові дієприслівники, що закінчуються на - в

приклад 25. Чи існує базис з власних векторів лінійного оператора  , Що має в деякому базисі матрицю ?

Рішення. Знайдемо власні значення  . (Див. (23))

Складемо характеристичне рівняння.  і вирішимо його.

.

Так як  , То існують два лінійно незалежних вектора і вони утворюють новий базис лінійного простору, в якому діє даний лінійний оператор (див. (24)). Знайдемо вектори цього базису, тобто власні вектори лінійного оператора. Так як  , То власні вектори можна знайти, використовуючи приєднану матрицю  . (Див. (26))

Обчислюємо алгебраїчні доповнення елементів першого рядка матриці  і виписуємо їх в перший стовпець матриці  . Підставляючи по черзі в цей стовпець  , Отримуємо відповідні власні вектори:

 - Перший власний вектор;

(а також  ).

 - Другий власний вектор; (а також  ).

Знайдено вектори нового базису и

Матриця лінійного оператора  в цьому новому базисі має діагональний вигляд  . (Див. (26))

Матриця переходу від старого базису до нового:  (Див. (4))

Перевіримо зв'язок між матрицями: .

відповідь: и  - Базис з власних векторів.

Приклад 26. привести матрицю

до діагонального вигляду і вказати матрицю переходу.

Рішення. Дана матриця, задана в деякому базисі, однозначно визначає лінійний оператор .

а) Матриця лінійного оператора  має діагональний вигляд в базисі з власних векторів, якщо такий існує.

Складемо характеристичне рівняння  і знайдемо його корені (див. (22)).


 Так як власні значення попарно різні, відповідні їм власні вектори лінійно незалежні. Отже, ці вектори утворюють новий базис лінійного простору, при переході до якого матриця оператора приймає діагональний вид.

 . (Див. (25))

Матриця переходу від старого базису до нового складається з координат нових базисних векторів, тобто власних векторів матриці А. Так як власні значення попарно різні, тобто є простими корінням характеристичного рівняння, відповідні їм власні вектори можна знайти, використовуючи приєднану матрицю  . (Див. (26))

Складемо перший стовпець цієї матриці, для чого обчислимо алгебраїчні доповнення елементів першого рядка матриці .

.

при  отримуємо стовпець

Але власний вектор не може бути нульовим за визначенням. для  необхідно скласти другий, а, може бути, і третій, стовпець.

при  отримаємо стовпець

при  отримаємо стовпець

Обчислимо алгебраїчні доповнення елементів другого рядка матриці  і випишемо другий стовпець матриці

.

при  отримуємо стовпець  перший власний вектор .

Щоб скласти матрицю переходу U, виписуємо координати власних векторів в відповідні стовпці:

 . (Див. (4))

Обчисливши зворотну матрицю  , Можна також переконатися в тому, що

.

Зауваження. Якщо координати вектора  в старому базисі позначити як  , А в новому базисі - як  і поставити цьому вектору у відповідність матриці-стовпці и  , То зв'язок між новими і старими координатами виражається наступним співвідношенням:

 (Див. (4))

Тобто  - Лінійне перетворення координат вектора при переході до базису з власних векторів.

відповідь: .

Завдання для самостійної роботи.

1. Знайдіть власні вектори лінійного оператора, що має в деякому базисі матрицю: а) .

відповідь:

б)  . відповідь: .



© um.co.ua - учбові матеріали та реферати