Головна

Аналітичних сюжетних задач

  1. C. Графоаналитический спосіб вирішення завдань лінійного програмування
  2. I СИТУАЦІЙНІ ЗАВДАННЯ ПО ПРОФІЛЬНИМ РОЗДІЛІВ
  3. I. Основні завдання та напрямки роботи бібліотеки
  4. I. Рішення логічних задач засобами алгебри логіки
  5. I. Цілі і завдання виконання контрольної роботи
  6. I. Завдання і цілі зовнішнього аудиту
  7. II. 1.1. ПРЕДМЕТ І ЗАВДАННЯ ПСИХОЛОГІЇ РОЗУМОВО ВІДСТАЛИХ ДІТЕЙ

Ще на зорі цивілізації, в школі Піфагора (571-479 до н. Е), виник зухвалий задум зробити математичні методи універсальним засобом для вирішення всіх природничо-наукових завдань. Але тоді цей задум був приречений на провал в силу недостатнього рівня розвитку як природознавства, так і самих математичних методів, так як алгебра і аналіз знаходилися лише в зародковому стані.

В середні віки цей задум з новою силою був відроджений Р. Беконом (1214-1294) «передвісником дослідної науки нових часів». У центрі дослідної науки, по Бекону, знаходяться фізико-математичні знання. Взагалі, все науки засновані на математиці і їх істини мають цінність лише остільки, оскільки вони виражені числом і мірою, т. Е в математичній формі. Математика в філософських поглядах Бекона є азбукою всієї натуральної філософії, т. Е всьогоприродознавства »(50).

Погляди Р. Бекона справили величезний вплив на мислителів наступних століть, формуючись як механіко-математична концепція в працях Н. Кузанського (1401-1464), Леонардо да Вінчі (1452-1519), Гоббса (1588-1679), Декарта (1596-1650), Спінози (1633-1677), Локка (1632-1704), Ньютона (1648-1723), Лейбніца (1646-1716), Ейлера (1707-1783), Канта (1724-1804).

Цю концепцію добре ілюструють слова Канта: «Я стверджую, що в кожній окремій природничій науці можна знайти власну науку лише постільки, поскільки в ній можна знайти математику».

Лише Гегель (1770-1831) зумів подолати крайності цієї концепції, підкреслюючи обмеженість сфери застосування сучасних йому математичних методів. Але вже на той час сфера застосування цих методів була досить великою і завдяки розвитку алгебри і аналізу зухвалий задум древніх був частково здійснений, причому Декарт і Ньютон надали ідеям древніх більш чітку форму.

Виходячи з положення Р. Бекона про те, що математика - азбука природознавства, і близька думка Галілея про те, що природа говорить математичною мовою, в своїх «Правилах для керівництва розуму» Декарт прагнув дати універсальний метод вирішення завдань. Він вважав, що до всіх завдань може бути застосована наступна схема:

перше - Завдання будь-якого виду зводяться до математичних завдань.

Друге - Математичні завдання будь-якого виду зводяться до алгебраїчних.

третє - Будь-яка алгебраїчна задача зводиться до вирішення одного-єдиного рівняння.

«З плином часу сам Декарт повинен був визнати, що є випадки, коли його схема є непридатною. Але тим не менше в намірі, призначеному в основу схеми Декарта, можна побачити щось глибоко правильне. Однак втілити цей намір в життя виявилося дуже важко ... Проект Декарта зазнав невдачі, однак це був великий проект і, навіть залишаючись нереалізованим, він зробив більший вплив на науку, ніж тисячі дрібних проектів, в тому числі таких, які вдалося реалізувати. Хоча схема Декарта і непридатна в усіх без винятку випадках, вона придатна для величезної кількості їх, яке включає невичерпне розмаїття випадків.

І коли учень середньої школи збирається вирішувати «словесну завдання» за допомогою «системи рівнянь», він слід схемою Декарта і готовий до серйозного застосування лежить в її основі універсальної ідеї »(44, с. 45-46).

Будемо сюжетні завдання, для яких метод Декарта оптимально ефективний, називати аналітичними.

Слід зазначити, що ідея вирішення завдань за допомогою рівнянь пов'язана не тільки з ім'ям Декарта. З цього приводу доречно навести слова В. Ф. Кагана: «Взагалі, будь-яка тенденція пов'язати глибоку ідею, широкий задум з одним певною особою як з родоначальником цієї ідеї зазвичай щонайменше ризикована. Ідеї ??широкого задуму не народяться з голови Юпітера - легендарного бога - або навіть знаменитого філософа.

Вони завжди є результатом еволюції, звичайно тривалої, часто дуже розгалуженою. І навряд чи можна вказати такий задум, таку наукову концепцію, зв'язувану з тим чи іншим ученим або філософом як її родоначальника, слідів, зачатків, почав якої не можна було знайти набагато раніше, задовго до того, як вона була чітко сформульована, якому її схильні приписувати ».

Намітки ідеї Декарта ми зустрічаємо вже в єгипетських папірусах і вавилонських клинописних табличках; в китайських «Дев'яти книгах» і в книгах індійських математиків Брамагупти і Бхаскару, у греків - Архімеда і Діофанта, у арабів - аль-Хорезмі і Омара Хайяма, в знаменитій «Книзі про абаці» Леонарда Фібоначчі і в не менш знаменитому «Запровадження в аналітичне мистецтво »Ф. Вієта.

Але все це не применшує значення Декарта в розвитку аналітичного методу розв'язання задач. Перекажімо коротко суть цього методу.

1. Приступаючи до вирішення завдання, ретельно проаналізуйте її. Що потрібно знайти або довести? Що дано? Яка залежність між даними і шуканим? Нехай перелік даних і залежностей буде повним і детальним, нехай в ньому нічого не буде упущено з уваги. Приймай за істинно дане лише інтуїтивно ясне і логічно доведене, якщо ж умова досить складно, поділи його на частини доти, поки воно не стане ясним для тебе. Щоб потім відтворити в своєму поданні умову задачі в цілому, дотримуйся порядок в міркуванні, йди від простого до складного, від легкого до важкого, від інтуїції до логіки. А якщо завдання не піддається аналізу, не берися до її рішенням, не роби наосліп. Але мобілізуй всі свої значення, весь свій досвід для проникнення в суть завдання, зосередити всю свою увагу на фактах, про які в ній ідеться до тих пір, поки не досягнеш ясного їх розуміння і при цьому досліджувати все по порядку, не опускаючи «дрібниць» .

2. Коли попередній аналіз закінчений, «коли ми добре розуміємо питання, треба звільнити його від усіх зайвих уявлень, звести його до найкоротшим елементам», звівши складну задачу до ряду простих. Для звільнення від зайвих і створення потрібних уявлень добре служать літерні символи і креслення. Саме вони дозволяють створити модель задачі, в якій відомі і невідомі виступають як рівноправні члени. Для створення таких моделей треба перевести залежність між реальними величинами на мову чотирьох арифметичних дій, для чого потрібно добре знати їх предметну основу - операції над відрізками. Роблячи всю цю роботу, треба «відчувати правильність кожного кроку, приймаючи лише те, що вбачається з повною ясністю або виводиться з повною достовірністю».

3. Символічна буквена модель текстової задачі, таким чином, буде зведена до системи рівнянь, зміст кожного з яких зводиться до вираження одного і того ж значення деякої величини двома різними способами. Щоб завдання мала певне рішення, потрібно мати стільки рівнянь, скільки в завданню невідомих.

4. Досліджуй рішення задачі, якщо хочеш отримати від неї користь. Пройшовши шлях, кинь «погляд назад», інтуїтивний і дедуктивний (19; 20).

Таким чином, ми бачимо, що вже в працях Декарта є ціла система методичних вказівок по рішенню текстових аналітичних задач. На жаль, ці вказівки, за невеликим винятком, довгий час залишалися невідомими широкому колу вчителів, так як про них нічого не говорилося в методичних посібниках. Тільки після виходу книг Д. Пойя ці вказівки в його переказі стали відомі вчителям і методистам (43, 44).

Положення Декарта про те, що для з'ясування даних і їх залежностей треба доробити завдання на більш дрібні і прості частини, Б. Паскаль (1623-1662) доповнив зазначенням: «Замінюй терміни їх визначеннями».

І. Ньютон у своїй «Загальної Арифметиці» присвячує методикою рішення аналітичних задач два розділи: «Про проведення питання до рівняння» і «Про програму рівнянь до геометричних питань». У першій з них він висуває наступні методичні ідеї:

1. До вирішення завдань за допомогою рівнянь можна приступати, лише маючи солідний досвід за тотожними перетворенням виразів алгебри і рішення рівнянь.

2. Приступаючи до вирішення текстовій завдання, треба попередньо з'ясувати: аналітична вона, т. Е чи всі дані і залежності завдання перевести на алгебраїчний мову.

3. Текстові завдання діляться на дві великі групи: а) допускають синхронний переклад з природної мови на алгебраїчний (або паралельний запис частин тексту і відповідних їм алгебраїчних виразів); б) що не допускають синхронного перекладу. В останньому випадку буває необхідно перефразувати текст завдання, «дотримуючись більше сенсу слів, ніж їх літери. У мовах різних народів є свої особливі вирази, ідіоми, і якщо вони зустрічаються, то переводити їх на іншу мову потрібно не буквально, а за змістом ».

Треба підкреслити, що синхронний переклад переважає «при вирішенні завдань, що відносяться лише до чисел або до абстрактним відносин величин».

4. Вивчення завдань - мистецтво; головний метод навчання тут - показ; «Мистецтво набагато легше вивчати за допомогою прикладів, ніж за допомогою приписів» (41, с. 79-82).

І. Ньютон показує, як вирішувати завдання, майже на вісімдесят прикладах.

5. Рішення задач здебільшого «тим швидше і вправнішим, чим менше ви вводите невідомих величин» (див .: там же, с. 80).

6. Для вирішення завдань «важко дати загальні приписи, і кожен повинен ... слідувати вказівкам власного розуму, я намагаюся все ж вказати шлях початківцям. Це слідувати Правил Декарта »(див .: там же, с. 103-106).

Ми бачимо, що Ньютон доповнює методичні вказівки Декарта п'ятьма новими положеннями. На жаль, широкому колу вчителів вони до сих пір мало відомі.

Протягом двох століть методика рішення аналітичних задач майже вичерпувалася вказівками, які можна знайти у Декарта і Ньютона, причому різні автори обмежувалися лише окремими вказівками великих мислителів, ігноруючи інші вказівки або виступаючи проти них.

Загалом, застосовувана в школах методика рішення аналітичних задач була зведена до наступної схеми:

1. Познач шукане буквою.

2. Допустивши, що ця літера - відповідь на питання завдання, виробляй над нею і над даними ті ж дії, які ми виробляли б, перевіряючи вже вирішену задачу.

аналітичний прийом | Це друге загальне правило - «Правило зрівнювання».

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати