Глава 2. Елементи матричних ігор | Вступ | Приклади. | Лінійного програмування. | C. Графоаналитический спосіб вирішення завдань лінійного програмування | D. Симплекс-метод | Алгоритм симплекс-методу | Метод штучного базису (М-метод) | Елементи теорії подвійності | Основна теорема подвійності |

загрузка...
загрузка...
На головну

Формальне представлення ігор. Поняття матричної гри

  1. I. Поняття і форми цивільно-правової відповідальності
  2. I. Поняття мистецтва і його соціальні функції. Види і жанри.
  3. I. Поняття мистецтва і його соціальні функції. Види і жанри.
  4. I. Поняття компетенції
  5. II. Індивід, індивідуальність. Поняття особистості, фактори її формування і розвитку.
  6. А) Поняття радіоактивності.
  7. А) Поняття матриці. б) Види матриці. в) Транспонування матриці. г) Рівність матриць. д) Алгебраїчні операції над матрицями: множення на число, додавання, множення матриць.

Однією з невід'ємних рис оточуючого нас світу є присутність (якщо не панування!) В ньому конфліктних ситуацій. У розширеному трактуванні, без негативного підтексту під конфліктною ситуацією ми розуміємо такі ситуації, в яких стикаються інтереси двох (або більше) сторін, що переслідують різні (іноді протилежні) мети, причому результати дії кожної зі сторін залежать від того, як поведуть себе інші сторони.

Бойові дії армій у військовому конфлікті, вибори в парламент при наявності декількох кандидатів на одне місце, міжвидова боротьба в природі, різноманітні спортивні ігри, - ці та багато інших прикладів, очевидно, вписуються в рамки наведеного вище поняття. Дуже багата на конфліктні ситуації економіка. Прикладами тут можуть служити боротьба фірм за ринки збуту, явища олігополії, планування рекламних компаній, формування цін на конкурентних ринках, біржова гра і т. Д.

В силу такої значної поширеності конфліктних ситуацій було б цікаво провести науковий аналіз узагальненої конфліктної ситуації і спробувати виробити розумні правила поведінки для її учасників. Саме цим і займається теорія ігор - математична теорія конфліктних ситуацій, в якій під грою розуміється математична модель конфліктної ситуації.

Теорія ігор вперше була систематично викладена Дж. Фон Нейманом і О. Моргенштерн в 1944 році в книзі «Теорія ігор і економічна поведінка», хоча окремі результати були опубліковані ще в 20-х роках. Надалі нова дисципліна отримала як теоретичне, так і широке прикладне розвиток. Однак економічні питання, мабуть, залишаються головними об'єктами застосування теорії ігор.

Розглянемо основні елементи, за допомогою яких описується будь-яка гра (будь-який конфлікт).

Нехай в грі беруть участь n конфліктуючих сторін P1,P2, ...,Pn, Званих зазвичай гравцями. позначимо через I безліч всіх таких гравців: I= {P1,P2, ...,Pn}.

Протягом однієї партії (одноразовому здійсненні гри) кожен гравець Pi може дотримуватися однієї з можливих ліній своєї поведінки si, званих стратегіями, вибираючи si з деякого заданого безлічі Si. В результаті таких виборів складається певний набір стратегій всіх гравців  = {s1,s2, ...,sn}, Званий ситуацією.

Зацікавленість гравців в тих чи інших ситуаціях проявляється в тому, що кожному гравцеві Pi в кожній ситуації  приписується число, що виражає ступінь задоволення його інтересів в даній ситуації. Це число називається виграшем гравця Pi і позначається через Hi(  ), А саме відповідність між безліччю ситуацій і виграшем гравця Pi називається функцією виграшу (платіжної функцією) Цього гравця.

Таким чином, формальне визначення гри зводиться до завдання трьох класів множин:

а) безлічі гравців;

б) сукупності множин стратегій кожного з гравців {Si}iII;

в) сукупності функцій виграшу кожного з гравців {Hi}iII.

При цьому передбачається, що функції виграшу і безлічі стратегій гравців загальновідомі. Відповідно до цієї інформацією кожен з учасників гри і організовує свою поведінку, прагнучи забезпечити собі максимально можливий виграш при будь-яких діях партнерів.

Змістовний аналіз гри в такий узагальненої постановці дуже скрутний. Методи аналізу ігор значно різняться в залежності від числа гравців, від кількості стратегій, від властивостей платіжних функцій, а також від характеру попередньої домовленості між гравцями. Тому в подальшому обмежимося розглядом лише одного, найбільш вивченого класу ігор, а саме класу матричних ігор.

Матрична гра описується в такий спосіб.

· У грі беруть участь 2 гравця: припустимо, гравці А і В.

· Кожен з гравців має кінцевим набором стратегій: А1, ...,Аm и В1, ...,Вn - Можливі стратегії гравців А і В (в цьому випадку говорять, що гра має розмірність mхn).

· Значення функцій виграшу НА и НВ гравців в кожній ситуації (Аi,Bj) Рівні за величиною і протилежні за знаком, тобто

НА(Аi,Bj) = -HB(Ai,Bj)= aij

для всіх i= 1, ...,m, j= 1, ...,n (Виграш одного з гравців дорівнює програшу іншого).

Очевидно, завдання такої гри еквівалентно завданням всіх значень функції виграшу одного з гравців (наприклад, гравця А) у вигляді так званої платіжної матриці або матриці гри:

 (2.1)

Рядки цієї матриці відповідають стратегіям гравця А, а стовпці - стратегіям гравця В; елементи аij задають виграш гравця А в ситуації, коли А вибирає стратегію Аi, А В - стратегію Вj.

Приклад 2.1. Кожен з двох гравців А і В незалежно один від одного кладе на стіл монету в 1 рубль або в 2 рубля. Якщо монети однакові, то виграє гравець А, якщо різні - гравець В. Виграш дорівнює сумі достоїнств монет. Необхідно побудувати платіжну матрицю гри.

Рішення.Проаналізуємо поведінку кожного з гравців. Гравець А може покласти монету 1 руб. (Позначимо цю стратегію через А1 ) Або монету 2 руб. (стратегія А2 ). Точно також гравець В може покласти монету 1 руб. (стратегія В1 ) Або монету 2 руб. (стратегія В2).

Якщо гравець А покладе 1 руб. і гравець У той же покладе 1 руб., тобто здійсниться ситуація (А1,В1), То в силу однаковості монет виграє гравець А, і його виграш дорівнює а11= НА(А1,В1) = 1 + 1 = 2. Якщо гравець А покладе 1 руб., А гравець В - 2 руб. (Ситуація (А1,В2)), То гравець А програє В 1 + 2 = 3 рубля, т. Е. «Виграш» А дорівнює а12= -3. аналогічно знаходимо а21= - (2 + 1) = - 3, а22= 2 + 2 = 4. Таким чином, для заданої гри отримаємо наступну платіжну матрицю

 



Третя теорема подвійності | Принцип міінімакса рішення матричних ігор.
загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати