На головну

Теореми про сходяться числових рядах

  1. А. Теореми додавання і множення ймовірностей.
  2. Абсолютна і умовна збіжність числових рядів.
  3. Верхні і нижні межі числових множин.
  4. Дії над випадковими подіями. Теореми додавання і множення.
  5. Завдання на теореми Лапласа
  6. Запам'ятовування дат, телефонних номерів та будь-яких числових послідовностей
  7. Значення теореми Р. коуза для державного регулювання економіки

теорема. Якщо сходиться ряд u1 + u2 + u3 + ... , То сходиться і ряд um +1 + um +2 + um +3 + ..., одержуваний з даного ряду відкиданням перших m членів (цей останній ряд називають m-м залишком вихідного ряду); навпаки, з збіжності m-го залишку ряду випливає збіжність даного ряду.

теорема. Якщо сходиться ряд u1 + u2 + u3 + ..., його сумою є число S, То сходиться і ряд а · u1 + А · u2 + А · u3 + ..., причому сума останнього ряду дорівнює а · S.

теорема. Якщо сходяться ряди u1 + u2 + ...; v1 + v2 + ..., мають відповідно суми S и S1, То сходиться і ряд (u1 + v1 ) + (U2 + v2 ) + ..., причому сума останнього ряду дорівнює S + S1.

теорема. (Необхідна ознака збіжності ряду). якщо ряд u1 + u2 + u3 + ... сходиться, то  , Т. Е. При n  межа загального члена сходиться ряду дорівнює нулю.

Теорема. (Перша ознака порівняння). Нехай дано два ряди:

u1 + u2 + u3 + ... + Un + ... (1)

v1 + v2 + v3 + ... + Vn + ... (2)

причому кожен член ряду (1) не перевищує відповідного члена ряду (2), т. е.

un Ј vn (N = 1, 2, ...).

Тоді а) якщо сходиться ряд (2), то сходиться і ряд (1);

б) якщо розходиться ряд (1), то розходиться і ряд (2).

Ця ознака залишається в силі, якщо нерівності un n виконуються не при всіх n, А лише починаючи з деякого номера n = N.

теорема. (Друга ознака порівняння). Якщо існує кінцевий і відмінний від нуля межа , k ? 0, то обидва ряди и  одночасно сходяться чи одночасно розходяться.

теорема. (Ознака Даламбера). Якщо для ряду u1 + u2 + u3 + ... + Un + ... існує  , То цей ряд сходиться при D <1 і розходиться при D > 1.

приклади. Дослідити збіжність рядів:

1)

Рішення. Даний ряд складений з членів нескінченно спадної геометричної прогресії і тому сходиться. Його сума:

S = ; a = ; q = .

2)

Рішення. Т. к.  (Не виконується необхідна ознака збіжності) => ряд розходиться.

виконати завдання:

1) Перевірити, чи є функції у рішеннями диференціальних рівнянь:

а) ;

б)

похідна другого порядку.

2) Вирішити рівняння:

а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) ;
ж) .  

3) За допомогою ознаки порівняння встановити збіжність або розбіжність ряду:

4) Встановити відповідність рядів за ознакою Даламбера:

а)

б)



Розглянемо диференціальне рівняння виду | Модульна програма до главе13
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати