На головну

Формули алгебри висловлювань

  1. I. Рішення логічних задач засобами алгебри логіки
  2. Алгебра висловлювань - Булева алгебра.
  3. Алгебра висловлювань. Основні логічні операції
  4. Асимптотичні формули для функцій, заданих у вигляді інтегралів.
  5. Базис І, АБО, НЕ. Властивості елементарних функцій алгебри логіки
  6. Базовими операціями алгебри логіки
  7. Піднесення до степеня, формули

Логіка висловлювань цікавиться єдиним властивістю елементарних висловлювань - їх значенням істинності; складові же висловлювання вивчаються нею з боку їх логічної структури, що відбиває спосіб, яким вони утворені. Структура складових висловлювань визначає залежність їх значень істинності від значень істинності складових елементарних висловлювань.

Так як сенс висловлювань математичну логіку не цікавить, їх цілком можна замінити змінними.

нехай X, Y, ..., Z, ..., Xi, Yi, ..., Zi - Змінні, замість яких можна підставити будь-які елементарні висловлювання (або їх значення істинності). Такі змінні називають пропозіціональнимі або висказивательную змінними. За допомогою висказивательную змінних і символів логічних операцій будь-яке висловлювання можна формалізувати, Т. Е замінити формулою, що відображає його логічну структуру.

Почнемо з того, що уточнимо поняття формули логіки висловлювань. Для цього задамо алфавіт, Т. Е набір символів, які ми будемо вживати в логіці висловлювань:

1. Х, Y, ..., Z, ..., Xi, Yi, ..., Zi (i - Натуральне число) - символи для позначення висказивательную змінних;

2. І, Л, 1, 0 - символи, що позначають логічні константи «істина» і «брехня»;

3. - Символи логічних операцій;

4. (,), [,] - Дужки (допоміжні символи, службовці для вказівки порядку виконання операцій).

Дамо тепер суворе визначення формули логіки висловлювань (будемо говорити формула ЛВ):

1. Будь-яка висказивательную змінна - формула ЛВ.

2. Символи І, Л, 1, 0 - формули ЛВ.

3. Якщо F - Формула ЛВ, то  - Формула ЛВ.

4. Якщо F1 и F2 - Формули ЛВ, то , , и  - Формули ЛВ.

5. Ніяких інших формул в логіці висловлювань немає.

Визначення такого виду називається індуктивним. У п. П. 1 і 2 визначені елементарні формули, В п. П. 3 і 4 дані правила утворення нових формул з будь-яких двох даних формул.

Домовимося для спрощення записів не укладати в дужки формули, які не є частинами інших формул або стоять під знаком заперечення. Зауважимо, що у формулі число лівих дужок завжди має дорівнювати числу правих дужок.

Опишемо процедуру формалізації висловлювань:

1. Якщо висловлювання - просте, то йому ставиться в відповідність елементарна формула.

2. Якщо висловлювання - складене, то для складання відповідної формули потрібно: а) виділити всі елементарні висловлювання і логічні зв'язки, що утворюють дане складене висловлювання; б) замінити їх відповідними символами; в) розставити дужки у відповідності зі змістом даного висловлювання.

Приклад 8:Визначте логічну структуру висловлювань (формалізується висловлювання):

1. Е = «Ваш приїзд не є ні необхідним, ні бажаним».

Складові прості висловлювання: А = Ваш приїзд необхідний; В = Ваш приїзд бажаний. Вони з'єднані між собою неявно наявними в висловлюванні Е союзом «і» і, крім того, до кожного з них відноситься частка «не». Таким чином, форма складного висловлювання має вигляд:

2. Е = «Пошуки ворога тривали вже три години, але результатів не було, що причаївся ворог нічим себе не видав».

Переформулюємо висловлювання таким чином, щоб виділити логічні зв'язки, неявно що з'єднують прості висловлювання: «якщо причаївся ворог нічим себе НЕ видав, то його пошуки тривали вже три години и результатів НЕбуло». Тепер можна виділити прості висловлювання: А = Ворог себе видав; В = Пошуки ворога тривали вже три години и С = Результат був. Тепер можна формалізувати складне висловлювання: .

зауваження: Символ імплікації ставиться там, де мається на увазі друга частина союзу «якщо ..., то ...», т. Е на місці «то». Таким чином, формула, отримана в другому прикладі, читається: «Якщо не А, то В і не С».

3. Е = «Якщо число ділиться на 2 і на 3, то воно ділиться на 6».

У цьому висловлюванні можна виділити наступні елементарні висловлювання: А = Число ділиться на 2, В = Число ділиться на 3 и С = Число ділиться на 6. Тоді формула, відповідна складного вислову, має вигляд: .

Останній приклад наочно показує, чому математичну логіку цікавить тільки логічна структура висловлювань. Точно таку ж логічну структуру, як в третьому прикладі має велику кількість, наприклад, математичних теорем: «якщо в чотирикутнику протилежні сторони паралельні и рівні, то цей чотирикутник - паралелограм»Або«якщо дві прямі паралельні третьої прямий, то вони паралельні один одному»(«якщо и , то  »).

Приклад 9: За формою висловлювань і вираженим на природній мові складовим його простим висловлюванням отримати фразу природною мовою.

1. .

Складові прості висловлювання:

А = Людина з дитинства давав нервах панувати над собою.

В = Людина в юності давав нервах панувати над собою.

С = Нерви звикнуть дратуватися.

D = Нерви будуть слухняні.

Для початку прочитаємо формулу з використанням логічних зв'язок, не звертаючи уваги на зміст складових простих висловлювань: «Якщо не А і не В, то не С і D». Тепер підставимо замість букв відповідні висловлювання, не промовляючи повторювані частини або замінюючи їх синонімами (займенниками). Отримаємо наступну фразу природною мовою:

Е = Якщо людина з дитинства і юності своєї не давав нервах панувати над собою, то вони не звикнуть дратуватися і будуть йому слухняні. (К. Д. Ушинський)

2. .

Складові прості висловлювання:

А = Хтось є лікарем.

В = Хворий поговорив з лікарем.

С = Хворому стало легше.

Фраза природною мовою:

Е = Якщо хворому після розмови з лікарем не стає легше, то це не лікар. (В. М. Бехтерєв)



Импликацией двох висловлювань називається нове висловлювання, яке помилково тоді і тільки тоді, коли перше висловлювання істинно, а друге - хибне. | Класифікація формул

Розділ 1. Висловлювання і операції над ними. Формули алгебри висловлювань. Класифікація формул | значення тавтологію | Основні правила отримання тавтологію |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати