На головну

рівняння Максвелла

  1. VI. Вирішити диференціальні рівняння
  2. Апроксимація диференціального рівняння
  3. Апроксимація диференціального рівняння
  4. Асимптотика коренів рівняння.
  5. Введення запізнень в рівняння безперервної і дискретної моделей, що описують процес прийняття рішення.
  6. Питання 7. Залежність швидкості реакції від концентрації реагентів. Кінетичні рівняння реакцій першого, другого і нульового порядків.
  7. Питання. Теорія Максвелла для електромагнітного поля.

Основні рівняння електрики і магнетизму, крім законів Фарадея, були отримані при спостереженні стаціонарних полів. З логічної точки зору не слід, що вони залишаються незмінними для полів, що залежать від часу. Тому така велика заслуга Максвелла, який узагальнив отримані до нього експериментальні закономірності на випадок довільного електромагнітного поля в довільному середовищі, ввівши лише одне додаткове доданок до закону, відкритий Ампером, створивши систему рівнянь. Макроскопічна теорія електромагнетизму ґрунтується на рівняннях Максвелла. Неосяжне кількість експериментальних фактів, отриманих після введення цих рівнянь, не залишає сумніву в їх правильності, так як висновки електромагнітної теорії знаходяться в постійному відповідно до результатів дослідів і практичної діяльності.

Вихідними в нашому розгляді є рівняння Максвелла в інтегральній формі, як безпосередньо засновані на досвіді. Диференціальні рівняння поля, справедливі майже в будь-якій його точці, виводяться потім аналітично. Рівняння Максвелла не тільки встановлюють взаємозв'язок електричних струмів і зарядів з полем, але і визначають властивості самого поля. Знайдені Максвеллом закони електромагнетизму відносяться до числа фундаментальних законів природи і чудові в такому відношенні: вони можуть дати більше, ніж укладено в тому матеріалі, з якого вони отримані. Про рівняннях Максвелла знаменитий німецький фізик Генріх Герц писав: "Не можна вивчати цю дивовижну теорію, не зазнавши за часами такого почуття, ніби математичні формули живуть власним життям, володіючи власним розумом - здається, що ці формули розумніші за нас, розумніші навіть самого автора, як ніби вони дають нам більше, ніж свого часу було в них закладено ".

1.3.1. Перше рівняння Максвелла - узагальнений закон Ампера

Відповідно до закону Ампера

.

В окремому випадку, якщо контур  у вигляді кола охоплює провідник зі струмом  , При цьому центр окружності збігається з віссю провідника, то внаслідок симетрії напруженість магнітного поля  однакова у всіх точках контуру, тобто не залежить від змінної інтегрування і її можна винести за знак інтеграла

,

звідки

,

де  - Відстань від центру провідника до точки спостереження.

Максвелл узагальнив закон Ампера на випадок змінного струму. У правій частині рівняння він додатково ввів доданок  , Так званий струм зміщення, зумовивши це необхідністю збереження кількості електрики в обмеженою системі. Введене Максвеллом поняття струму зміщення, як ми побачимо згодом, виявилося дуже плідним. Його величина визначається за формулою, висновок якої наведено нижче

 , (1.13)

де  - Щільність струму зміщення.

Таким чином, перше рівняння Максвелла є узагальненим законом Ампера в інтегральної формі і записується в такий спосіб

 . (1.14)

Вектори електромагнітного поля, заряди і струми можуть бути пов'язані між собою або інтегральними співвідношеннями, або диференціальними. Перехід від одних співвідношень до інших здійснюється за допомогою двох теорем векторного аналізу: теореми Остроградського-Гаусса і теореми Стокса.

Теорема Остроградського-Гаусса пов'язує інтеграл від деякого векторного поля  по замкнутій поверхні  з інтегралом за обсягом  , Обмеженому цією поверхнею, таким співвідношенням

 . (1.15)

Теорема Стокса пов'язує інтеграл по замкнутому контуру  з інтегралом по поверхні  , Обмеженою цим контуром

 . (1.16)

Значення диференціальних операторів дивергенції і ротора в різних координатних системах наводяться в довідниках. Їх вираження в декартовій системі координат мають такий вигляд:

;

.

Для отримання виразу (1.13), що визначає струм зміщення, розглянемо основні закони електричного струму.

Електричним струмом через замкнуту поверхню  називається швидкість зміни кількості електрики  в обсязі  , Обмеженому поверхнею  , З протилежним знаком

 . (1.17)

Враховуючи що и  , Переписуємо (1.17)

або, змінюючи порядок диференціювання і інтегрування, отримуємо

.

Перетворюючи поверхневий інтеграл лівої частини на підставі теореми Остроградського-Гаусса в інтеграл за обсягом, маємо

.

Це рівність, справедливе для довільного обсягу, може виконуватися тільки в тому випадку, якщо рівні подинтегрального вираження

 . (1.18)

Рівняння (1.18) є диференціальним виразом рівняння (1.17) і називається рівнянням безперервності струму і заряду.

Джерелами ліній щільності струму є ті точки поля, де щільність заряду змінюється з часом. Для постійного струму об'ємна щільність зарядів  в кожній точці середовища повинна залишатися незмінною, тобто  , А це означає, що

 . (1.19)

отже,

 . (1.20)

Рівняння (1.19) і (1.20) звуться першого закону Кірхгофа в диференціальній та інтегральній формах відповідно. Лінії постійного струму не мають витоків і стоків. Іншими словами, ланцюг постійного струму повинна бути замкнута. У разі змінного струму лінії струму опинилися незамкнені, так як мають витоки і стоки в точках зі змінною щільністю заряду

.

Максвелл узагальнив принцип безперервності ліній струму на випадок змінного струму шляхом введення поняття про струм зміщення.

Відомо (1.5), що

.

Застосувавши до цієї рівності теорему Остроградського-Гаусса, отримуємо

 або  . (1.21)

Підставляючи (1.21) в (1.18), маємо

.

Переносячи праву частину в ліву і змінюючи порядок диференціювання за часом і по просторовим координатам, отримуємо

 . (1.22)

Рівняння (1.22) стверджує, що вектор, що представляє собою суму векторів и  , Безперервний. Іншими словами, вектор  доповнює вектор щільності струму до замкнутості. Максвелл ввів поняття про щільність струму зміщення  , Розуміючи під ним другий доданок рівняння (1.22)

 . (1.23)

За Максвеллові існує повний струм, щільність якого складається з двох складових: щільності струму провідності  , Пропорційній напруженості електричного поля  , І щільності струму зміщення, пропорційної похідною напруженості поля за часом

.

Таким чином .

Принцип безперервності ліній струму дотримується і для випадку змінного струму. Струм зміщення визначається за виразом (1.13)

 . (1.24)

Змінюючи порядок інтегрування і диференціювання, отримуємо

 . (1.25)

Перехід від інтегрального рівняння Максвелла (1.14) до диференціального може бути здійснений за допомогою теореми Стокса (1.16)

,

звідки

 . (1.26)

Ротор вектора напруженості магнітного поля в будь-якій його точці дорівнює сумі щільності струму провідності і швидкості зміни вектора електричної індукції в цій точці.

Закон Ампера в диференціальної формі записується рівнянням

 . (1.27)

З рівняння (1.27) на підставі формули векторного аналізу  випливає, що дивергенція правій частині рівності (1.27) дорівнює нулю, тобто  . Тим часом, ця умова виконується лише в окремому випадку постійного струму. Для змінних струмів закон збереження кількості електрики призводить до вимоги, щоб

 . (1.28)

Рівняння (1.27) і рівність (1.28) очевидно суперечать один з одним. Не ставлячи під сумнів закон збереження кількості електрики, ми повинні визнати несправедливість рівняння (1.27) для змінного поля. Максвелл висловив припущення про те, як треба "виправити" це рівняння для змінних полів. За Максвеллові слід в праву частину рівняння (1.27) замість щільності струму провідності поставити щільність повного струму, переписавши рівняння (1.27) у вигляді

,

де  - Є сума векторів щільності струмів провідності і зміщення.

Так як  , То це "виправлене" рівняння знаходиться в згоді з законом збереження кількості електрики.

1.3.2. Друге рівняння Максвелла -



матеріальні рівняння | Узагальнений закон електромагнітної індукції Фарадея

Вектори електромагнітного поля | Закон нерозривності магнітних силових ліній | Повна система рівнянь Максвелла | сторонні сили | Граничні умови | Енергія електромагнітного поля | Теорема Умова-Пойнтінга про збереження енергії в електромагнітному полі |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати